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Exercices corrigésNiveau : 2NDE

Intervalles et valeur absolue : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • seconde

Intervalles et inégalités

S’entraîner sur ce type

Le crochet est fermé si la borne est atteinte (≤\leq), ouvert sinon (<<), et toujours ouvert en ±∞\pm\infty. L’intersection garde les réels communs aux deux intervalles.

1.

Écris l’ensemble des réels x qui vérifient cette inégalité sous forme d’intervalle.

1<x≤111 < x \leq 11
Corrigé
  1. Crochet tourné vers le nombre s’il est compris (≤ ou ≥), tourné vers l’extérieur sinon ; toujours ouvert en ±∞\pm\infty.
  2. 1<x≤11  ⟺  x∈]1 ; 11]1 < x \leq 11 \iff x \in \mathopen{]}1 \,;\, 11\mathclose{]}

Réponsex ∈ ]1 ; 11]\mathopen{]}1 \,;\, 11\mathclose{]}

2.

Écris l’intersection de ces deux intervalles.

]−6 ; −1[∩[−3 ; 1[\mathopen{]}-6 \,;\, -1\mathclose{[} \cap \mathopen{[}-3 \,;\, 1\mathclose{[}
Corrigé
  1. L’intersection contient les réels qui sont dans les deux intervalles à la fois.
  2. Elle commence au plus grand début, −3-3, et s’arrête à la plus petite fin, −1-1.
  3. ]−6 ; −1[∩[−3 ; 1[=[−3 ; −1[\mathopen{]}-6 \,;\, -1\mathclose{[} \cap \mathopen{[}-3 \,;\, 1\mathclose{[} = \mathopen{[}-3 \,;\, -1\mathclose{[}

Réponse= [−3 ; −1[\mathopen{[}-3 \,;\, -1\mathclose{[}

3.

Écris l’intersection de ces deux intervalles.

]−1 ; 4]∩[0 ; 7[\mathopen{]}-1 \,;\, 4\mathclose{]} \cap \mathopen{[}0 \,;\, 7\mathclose{[}
Corrigé
  1. L’intersection contient les réels qui sont dans les deux intervalles à la fois.
  2. Elle commence au plus grand début, 00, et s’arrête à la plus petite fin, 44.
  3. ]−1 ; 4]∩[0 ; 7[=[0 ; 4]\mathopen{]}-1 \,;\, 4\mathclose{]} \cap \mathopen{[}0 \,;\, 7\mathclose{[} = \mathopen{[}0 \,;\, 4\mathclose{]}

Réponse= [0 ; 4]\mathopen{[}0 \,;\, 4\mathclose{]}

Valeur absolue et distance

S’entraîner sur ce type

∣a−b∣|a - b| est la distance entre aa et bb. ∣x−a∣≤r|x - a| \leq r équivaut à x∈[a−r ; a+r]x \in [a - r\,;\,a + r].

4.

Résous cette inéquation. Donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s).

∣x−1∣<3\lvert x - 1\rvert < 3
Corrigé
  1. ∣x−1∣\lvert x - 1\rvert est la distance entre xx et 11.
  2. Distance strictement inférieure à 33 : xx est entre 1−3=−21 - 3 = -2 et 1+3=41 + 3 = 4.
  3. S=]−2 ; 4[S = \mathopen{]}-2 \,;\, 4\mathclose{[}

Réponsex ∈ ]−2 ; 4[\mathopen{]}-2 \,;\, 4\mathclose{[}

5.

Résous cette inéquation. Donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s).

∣x+6∣≤3\lvert x + 6\rvert \leq 3
Corrigé
  1. ∣x+6∣\lvert x + 6\rvert est la distance entre xx et −6-6.
  2. Distance inférieure ou égale à 33 : xx est entre −6−3=−9-6 - 3 = -9 et −6+3=−3-6 + 3 = -3.
  3. S=[−9 ; −3]S = \mathopen{[}-9 \,;\, -3\mathclose{]}

Réponsex ∈ [−9 ; −3]\mathopen{[}-9 \,;\, -3\mathclose{]}

6.

Résous cette inéquation. Donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s).

∣x+4∣<2\lvert x + 4\rvert < 2
Corrigé
  1. ∣x+4∣\lvert x + 4\rvert est la distance entre xx et −4-4.
  2. Distance strictement inférieure à 22 : xx est entre −4−2=−6-4 - 2 = -6 et −4+2=−2-4 + 2 = -2.
  3. S=]−6 ; −2[S = \mathopen{]}-6 \,;\, -2\mathclose{[}

Réponsex ∈ ]−6 ; −2[\mathopen{]}-6 \,;\, -2\mathclose{[}