Fiche tle-spe tle-spe integrale Calculer une intégrale avec une primitive, utiliser Chasles et la linéarité, trouver une aire et une valeur moyenne, intégrer par parties.
L’essentiel Si f f f [ a ; b ] [a \,;\, b] [ a ; b ] F F F f f f
∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a) ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) intégrale puissance Si f ≥ 0 f \geq 0 f ≥ 0 supérieur , c’est l’aire (en unités d’aire) entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a x = a x = a x = b x = b x = b
Propriétés :
∫ a c f = ∫ a b f + ∫ b c f (Chasles) ∫ a b ( α f + β g ) = α ∫ a b f + β ∫ a b g ∫ b a f = − ∫ a b f \int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f \;\;\text{(Chasles)} \qquad \int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g \qquad \int_b^a f = -\int_a^b f ∫ a c f = ∫ a b f + ∫ b c f (Chasles) ∫ a b ( α f + β g ) = α ∫ a b f + β ∫ a b g ∫ b a f = − ∫ a b f intégrale puissance Positivité : si f ≥ 0 f \geq 0 f ≥ 0 supérieur sur [ a ; b ] [a \,;\, b] [ a ; b ] a ≤ b a \leq b a ≤ b inférieur ), alors ∫ a b f ≥ 0 \int_a^b f \geq 0 ∫ a b f ≥ 0 intégrale puissance supérieur . Si f ≤ g f \leq g f ≤ g inférieur , alors ∫ a b f ≤ ∫ a b g \int_a^b f \leq \int_a^b g ∫ a b f ≤ ∫ a b g intégrale puissance inférieur .
Valeur moyenne de f f f [ a ; b ] [a \,;\, b] [ a ; b ] μ = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x \mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x μ = b − a 1 ∫ a b f ( x ) d x fraction intégrale puissance .
Intégration par parties : ∫ a b u v ′ = [ u v ] a b − ∫ a b u ′ v \displaystyle\int_a^b u v' = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b u'v ∫ a b u v ′ = [ uv ] a b − ∫ a b u ′ v intégrale puissance dérivée .
La méthode
Trouve une primitive F F F
Calcule F ( b ) − F ( a ) F(b) - F(a) F ( b ) − F ( a )
Pour une aire entre deux courbes , intègre la différence « courbe du haut moins courbe du bas ».
Exemple corrigé
∫ 0 2 ( 3 x 2 − 2 x + 1 ) d x = [ x 3 − x 2 + x ] 0 2 = ( 8 − 4 + 2 ) − 0 = 6 \int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,\mathrm{d}x = \big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = \boxed{6} ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 2 x + 1 ) d x = [ x 3 − x 2 + x ] 0 2 = ( 8 − 4 + 2 ) − 0 = 6 intégrale au carré cube
Valeur moyenne sur [ 0 ; 2 ] [0 \,;\, 2] [ 0 ; 2 ] μ = 6 2 = 3 \mu = \dfrac{6}{2} = \boxed{3} μ = 2 6 = 3 fraction .
Calculer une intégrale
Par parties : ∫ 0 1 x e x d x \displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x ∫ 0 1 x e x d x intégrale puissance avec u = x u = x u = x v ′ = e x v' = \mathrm{e}^{x} v ′ = e x dérivée puissance :
∫ 0 1 x e x d x = [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1 \int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \big[x\,\mathrm{e}^{x}\big]_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = \boxed{1} ∫ 0 1 x e x d x = [ x e x ] 0 1 − ∫ 0 1 e x d x = e − ( e − 1 ) = 1 intégrale puissance
Propriétés de l’intégrale
Les pièges
L’intégrale d’une fonction négative est négative : pour une aire, on prend la valeur absolue sur chaque morceau.
F ( b ) − F ( a ) F(b) - F(a) F ( b ) − F ( a ) F ( a ) − F ( b ) F(a) - F(b) F ( a ) − F ( b ) La valeur moyenne divise par la longueur de l’intervalle, b − a b - a b − a