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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Calcul intégral : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Calculer une intégrale

S’entraîner sur ce type

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a), où FF est une primitive de ff. La valeur moyenne vaut 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

1.

Calcule l’intégrale.

∫14(−4x−2) dx\int_{1}^{4} (-4x - 2)\,\mathrm{d}x
Corrigé
  1. F(x)=−2x2−2x est une primitive.F(x) = -2x^2 - 2x \text{ est une primitive.}
  2. ∫14f(x) dx=F(4)−F(1)=−36\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = F(4) - F(1) = -36

RéponseI = −36-36

2.

Calcule l’intégrale.

∫14(−3x2−2x−1) dx\int_{1}^{4} (-3x^2 - 2x - 1)\,\mathrm{d}x
Corrigé
  1. F(x)=−x3−x2−x est une primitive.F(x) = -x^3 - x^2 - x \text{ est une primitive.}
  2. ∫14f(x) dx=F(4)−F(1)=−81\int_{1}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = F(4) - F(1) = -81

RéponseI = −81-81

3.

Calcule la valeur moyenne de f sur [−1 ; 1].

f(x)=3x2−6x−5f(x) = 3x^2 - 6x - 5
Corrigé
  1. F(x)=x3−3x2−5x est une primitive.F(x) = x^3 - 3x^2 - 5x \text{ est une primitive.}
  2. ∫−11f(x) dx=F(1)−F(−1)=−8\int_{-1}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = F(1) - F(-1) = -8
  3. μ=11−(−1)×(−8)=−4\mu = \dfrac{1}{1 - (-1)} \times (-8) = -4

Réponseμ = −4-4

Propriétés de l’intégrale

S’entraîner sur ce type

Relation de Chasles : ∫ab+∫bc=∫ac\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c. Linéarité : ∫(kf+g)=k∫f+∫g\int (kf + g) = k\int f + \int g. Échanger les bornes change le signe.

4.

Utilise la linéarité de l’intégrale.

∫−11f(x) dx=−3∫−11(3f(x)−3)dx=  ?\int_{-1}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x = -3 \qquad \int_{-1}^{1} \left(3f(x) - 3\right)\mathrm{d}x = \;?
Corrigé
  1. ∫−11(kf(x)+m) dx=k∫−11f(x) dx+m(1−(−1))\int_{-1}^{1} (kf(x) + m)\,\mathrm{d}x = k\int_{-1}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x + m(1 - (-1))
  2. =3×(−3)+(−3)×2=−15= 3 \times (-3) + (-3) \times 2 = -15

Réponse −15-15

5.

Utilise la relation de Chasles.

∫03f(x) dx=7∫36f(x) dx=8∫06f(x) dx=  ?\int_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 7 \qquad \int_{3}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x = 8 \qquad \int_{0}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x = \;?
Corrigé
  1. ∫06f=∫03f+∫36f=7+8=15\int_{0}^{6} f = \int_{0}^{3} f + \int_{3}^{6} f = 7 + 8 = 15

Réponse 1515

6.

Utilise la relation de Chasles.

∫−12f(x) dx=−9∫25f(x) dx=−1∫−15f(x) dx=  ?\int_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = -9 \qquad \int_{2}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = -1 \qquad \int_{-1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = \;?
Corrigé
  1. ∫−15f=∫−12f+∫25f=−9−1=−10\int_{-1}^{5} f = \int_{-1}^{2} f + \int_{2}^{5} f = -9 - 1 = -10

Réponse −10-10