FicheNiveau : TLE SPÉ

Fonctions sinus et cosinus : équations et dérivées

Résoudre cos x = a et sin x = a sur ]−π ; π] avec le cercle trigonométrique, et étudier les fonctions sinus et cosinus.

L’essentiel

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$ , périodiques de période $2\pi$ , à valeurs dans $[-1 \,;\, 1]$ . $\cos$ est paire, $\sin$ est impaire.

Dérivées : $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ .

Équations sur $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ :

$\cos x = \cos a$ : les solutions sont $a$ et $-a$ (points symétriques par rapport à l’axe des abscisses) ;
$\sin x = \sin a$ : les solutions sont $a$ et $\pi - a$ (symétriques par rapport à l’axe des ordonnées).

La méthode

Trouve un angle remarquable $a$ dont le cosinus (ou le sinus) vaut la valeur cherchée.
Place les points sur le cercle : pour $\cos x = k$ , trace la droite verticale d’abscisse $k$ ; pour $\sin x = k$ , la droite horizontale d’ordonnée $k$ .
Lis les angles des points d’intersection dans l’intervalle demandé.

Pour une inéquation comme $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ , repère sur le cercle l’arc où l’abscisse est au moins $\dfrac{1}{2}$ .

Exemple corrigé

$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ . Comme $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , les solutions sont $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{5\pi}{4}$ , que l’on ramène dans l’intervalle : $\dfrac{5\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{4}$ .

\boxed{S = \left\{ -\dfrac{3\pi}{4} \,;\, -\dfrac{\pi}{4} \right\}}

$\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ sur $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ : $\boxed{S = \left[-\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{\pi}{3}\right]}$ .

Résoudre cos x = a ou sin x = aS’entraîner

Les pièges

Une équation $\cos x = k$ avec $|k| > 1$ n’a pas de solution.
Ramène toujours les solutions dans l’intervalle demandé en ajoutant ou en retirant $2\pi$ .
$\cos x = 1$ n’a qu’une solution sur $\mathopen{]}-\pi \,;\, \pi]$ : $x = 0$ .