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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Équations trigonométriques : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Résoudre cos x = a ou sin x = a

S’entraîner sur ce type

On repère sur le cercle trigonométrique les points d’abscisse aa (pour le cosinus) ou d’ordonnée aa (pour le sinus), en gardant les angles de ]−π ; π]]-\pi\,;\,\pi].

1.

Résous l’équation sur ]-π ; π].

sin⁡x=−1\sin x = -1

A. {−π2}\left\{ -\dfrac{\pi}{2} \right\}B. {π2}\left\{ \dfrac{\pi}{2} \right\}C. {0}\left\{ 0 \right\}D. {π}\left\{ \pi \right\}

Corrigé
  1. On cherche sur le cercle trigonométrique les points d’ordonnée −1-1.
  2. S={−π2}S = \left\{ -\dfrac{\pi}{2} \right\}

Réponse {−π2}\left\{ -\dfrac{\pi}{2} \right\}

2.

Résous l’équation sur ]-π ; π].

cos⁡x=−12\cos x = -\dfrac{1}{2}

A. {−π3 ; π3}\left\{ -\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{\pi}{3} \right\}B. {π6 ; 5π6}\left\{ \dfrac{\pi}{6} \,;\, \dfrac{5\pi}{6} \right\}C. {−5π6 ; −π6}\left\{ -\dfrac{5\pi}{6} \,;\, -\dfrac{\pi}{6} \right\}D. {−2π3 ; 2π3}\left\{ -\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \dfrac{2\pi}{3} \right\}

Corrigé
  1. On cherche sur le cercle trigonométrique les points d’abscisse −12-\dfrac{1}{2}.
  2. S={−2π3 ; 2π3}S = \left\{ -\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \dfrac{2\pi}{3} \right\}

Réponse {−2π3 ; 2π3}\left\{ -\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \dfrac{2\pi}{3} \right\}

3.

Résous l’équation sur ]-π ; π].

sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2}

A. {−2π3 ; 2π3}\left\{ -\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \dfrac{2\pi}{3} \right\}B. {−π3 ; π3}\left\{ -\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{\pi}{3} \right\}C. {π6 ; 5π6}\left\{ \dfrac{\pi}{6} \,;\, \dfrac{5\pi}{6} \right\}D. {−5π6 ; −π6}\left\{ -\dfrac{5\pi}{6} \,;\, -\dfrac{\pi}{6} \right\}

Corrigé
  1. On cherche sur le cercle trigonométrique les points d’ordonnée 12\dfrac{1}{2}.
  2. S={π6 ; 5π6}S = \left\{ \dfrac{\pi}{6} \,;\, \dfrac{5\pi}{6} \right\}

Réponse {π6 ; 5π6}\left\{ \dfrac{\pi}{6} \,;\, \dfrac{5\pi}{6} \right\}

Dérivées et extremums avec sinus et cosinus

S’entraîner sur ce type

cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin et sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos ; on utilise les valeurs en 00, π2\dfrac{\pi}{2} et π\pi. Comme −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1, asin⁡x+ca\sin x + c varie entre c−∣a∣c - |a| et c+∣a∣c + |a|.

4.

Quel est le maximum de la fonction f sur ℝ ?

f(x)=−sin⁡x−1f(x) = -\sin x - 1
Corrigé
  1. Pour tout réel xx, −1≤sin⁡x≤1-1 \leq \sin x \leq 1, et les valeurs −1-1 et 11 sont atteintes.
  2. Le coefficient est négatif : les inégalités changent de sens. f(x)f(x) varie entre −2-2 et 00 : le maximum vaut 00.

Réponsemax = 00

5.

Calcule f′(π/2).

f(x)=4cos⁡x−sin⁡xf(x) = 4\cos x - \sin x
Corrigé
  1. f′(x)=−4sin⁡x−cos⁡xf'(x) = -4\sin x - \cos x
  2. f′(π2)=−4×1−1×0=−4f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -4 \times 1 - 1 \times 0 = -4

Réponsef′(π/2) = −4-4

6.

Calcule f′(π).

f(x)=4cos⁡x−4sin⁡xf(x) = 4\cos x - 4\sin x
Corrigé
  1. f′(x)=−4sin⁡x−4cos⁡xf'(x) = -4\sin x - 4\cos x
  2. f′(π)=−4×0−4×(−1)=4f'\left(\pi\right) = -4 \times 0 - 4 \times (-1) = 4

Réponsef′(π) = 44