FicheNiveau : TLE SPÉ

Produit scalaire dans l’espace : orthogonalité, norme, distance

Calculer un produit scalaire, une norme et une distance dans l’espace, et démontrer une orthogonalité avec les coordonnées.

L’essentiel

Dans un repère orthonormé de l’espace, avec $\vec{u}\,(x \,;\, y \,;\, z)$ et $\vec{v}\,(x' \,;\, y' \,;\, z')$ :

\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Distance entre $A$ et $B$ : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Pour montrer que deux droites sont orthogonales, calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs.
Pour montrer qu’une droite est orthogonale à un plan, montre que son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Pour un angle, utilise $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$ .

$\vec{u}\,(2 \,;\, -1 \,;\, 3)$ et $\vec{v}\,(4 \,;\, m \,;\, -2)$ : pour quelle valeur de $m$ sont-ils orthogonaux ?

\vec{u} \cdot \vec{v} = 8 - m - 6 = 2 - m = 0 \iff \boxed{m = 2}

Distance entre $A(1 \,;\, 0 \,;\, 2)$ et $B(3 \,;\, 3 \,;\, 8)$ :

AB = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{49} = \boxed{7}

Ces formules supposent un repère orthonormé.
Deux droites de l’espace peuvent être orthogonales sans être sécantes.
Un seul vecteur du plan ne suffit pas pour conclure à l’orthogonalité d’une droite et d’un plan.