2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
Dans un repère orthonormé, u ⃗ ⋅ v ⃗ = x x ′ + y y ′ + z z ′ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' u ⋅ v = x x ′ + y y ′ + z z ′ ∥ u ⃗ ∥ = x 2 + y 2 + z 2 \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ∥ u ∥ = x 2 + y 2 + z 2
1. Pour quelle valeur de m les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ?
u ⃗ ( 2 ; 0 ; m ) v ⃗ ( 2 ; 1 ; 2 ) \vec{u}\,(2 \,;\, 0 \,;\, m) \qquad \vec{v}\,(2 \,;\, 1 \,;\, 2) u ( 2 ; 0 ; m ) v ( 2 ; 1 ; 2 ) Corrigé u ⃗ ⋅ v ⃗ = 2 × 2 + 0 × 1 + m × 2 = 4 + 2 m \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 2 + 0 \times 1 + m \times 2 = 4 + 2m u ⋅ v = 2 × 2 + 0 × 1 + m × 2 = 4 + 2 m u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 ⟺ m = − 2 \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff m = -2 u ⋅ v = 0 ⟺ m = − 2 Réponse m = − 2 -2 − 2
2. Calcule la norme du vecteur (repère orthonormé).
u ⃗ ( 4 ; − 1 ; 8 ) \vec{u}\,(4 \,;\, -1 \,;\, 8) u ( 4 ; − 1 ; 8 ) Corrigé ∥ u ⃗ ∥ = 4 2 + ( − 1 ) 2 + 8 2 = 81 = 9 \|\vec{u}\| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 8^2} = \sqrt{81} = 9 ∥ u ∥ = 4 2 + ( − 1 ) 2 + 8 2 = 81 = 9 Réponse ‖u‖ = 9 9 9
3. Pour quelle valeur de m les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ?
u ⃗ ( − 3 ; 3 ; m ) v ⃗ ( 2 ; − 2 ; 3 ) \vec{u}\,(-3 \,;\, 3 \,;\, m) \qquad \vec{v}\,(2 \,;\, -2 \,;\, 3) u ( − 3 ; 3 ; m ) v ( 2 ; − 2 ; 3 ) Corrigé u ⃗ ⋅ v ⃗ = − 3 × 2 + 3 × ( − 2 ) + m × 3 = − 12 + 3 m \vec{u} \cdot \vec{v} = -3 \times 2 + 3 \times (-2) + m \times 3 = -12 + 3m u ⋅ v = − 3 × 2 + 3 × ( − 2 ) + m × 3 = − 12 + 3 m u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 ⟺ m = 4 \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff m = 4 u ⋅ v = 0 ⟺ m = 4 Réponse m = 4 4 4
u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ⃗ ∥ × cos ( u ⃗ , v ⃗ ) \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u, \vec v) u ⋅ v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos ( u , v ) ∥ u ⃗ + v ⃗ ∥ 2 = ∥ u ⃗ ∥ 2 + 2 u ⃗ ⋅ v ⃗ + ∥ v ⃗ ∥ 2 \|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2
4. Calcule ‖u + v‖².
∥ u ⃗ ∥ = 3 ∥ v ⃗ ∥ = 3 u ⃗ ⋅ v ⃗ = − 2 \|\vec u\| = 3 \qquad \|\vec v\| = 3 \qquad \vec u \cdot \vec v = -2 ∥ u ∥ = 3 ∥ v ∥ = 3 u ⋅ v = − 2 Corrigé ∥ u ⃗ + v ⃗ ∥ 2 = ∥ u ⃗ ∥ 2 + 2 u ⃗ ⋅ v ⃗ + ∥ v ⃗ ∥ 2 \|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ∥ u ⃗ + v ⃗ ∥ 2 = 9 − 4 + 9 = 14 \|\vec u + \vec v\|^2 = 9 - 4 + 9 = 14 ∥ u + v ∥ 2 = 9 − 4 + 9 = 14 Réponse ‖u + v‖² = 14 14 14
5. Calcule ‖u + v‖².
∥ u ⃗ ∥ = 4 ∥ v ⃗ ∥ = 5 u ⃗ ⋅ v ⃗ = 4 \|\vec u\| = 4 \qquad \|\vec v\| = 5 \qquad \vec u \cdot \vec v = 4 ∥ u ∥ = 4 ∥ v ∥ = 5 u ⋅ v = 4 Corrigé ∥ u ⃗ + v ⃗ ∥ 2 = ∥ u ⃗ ∥ 2 + 2 u ⃗ ⋅ v ⃗ + ∥ v ⃗ ∥ 2 \|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ∥ u ⃗ + v ⃗ ∥ 2 = 16 + 8 + 25 = 49 \|\vec u + \vec v\|^2 = 16 + 8 + 25 = 49 ∥ u + v ∥ 2 = 16 + 8 + 25 = 49 Réponse ‖u + v‖² = 49 49 49
6. Calcule le produit scalaire u · v.
∥ u ⃗ ∥ = 4 ∥ v ⃗ ∥ = 3 ( u ⃗ , v ⃗ ) ^ = π 2 \|\vec u\| = 4 \qquad \|\vec v\| = 3 \qquad \widehat{(\vec u, \vec v)} = \dfrac{\pi}{2} ∥ u ∥ = 4 ∥ v ∥ = 3 ( u , v ) = 2 π Corrigé u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ × ∥ v ⃗ ∥ × cos ( u ⃗ , v ⃗ ) ^ \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos \widehat{(\vec u, \vec v)} u ⋅ v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos ( u , v ) u ⃗ ⋅ v ⃗ = 4 × 3 × 0 = 0 \vec u \cdot \vec v = 4 \times 3 \times 0 = 0 u ⋅ v = 4 × 3 × 0 = 0 Réponse u · v = 0 0 0