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FicheNiveau : TLE SPÉ

Équations différentielles y′ = ay et y′ = ay + b

Résoudre y′ = ay et y′ = ay + b, trouver la solution constante, puis la solution qui vérifie une condition initiale.

L’essentiel

Une équation différentielle relie une fonction inconnue yy et sa dérivée y′y'.

  • y′=ayy' = ay (aa réel) : les solutions sont les fonctions x↦Ceaxx \mapsto C\mathrm{e}^{ax}, avec CC réel.
  • y′=ay+by' = ay + b (a≠0a \neq 0) : la fonction constante x↦−bax \mapsto -\dfrac{b}{a} est une solution particulière, et les solutions sont :
y(x)=Ceax−ba(C∈R)y(x) = C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a} \qquad (C \in \mathbb{R})
  • y′=fy' = f : les solutions sont les primitives de ff.

Une condition initiale comme y(0)=y0y(0) = y_0 fixe la constante CC : il y a alors une seule solution.

La méthode

  1. Cherche la solution constante : elle vérifie y′=0y' = 0, donc 0=ay+b0 = ay + b.
  2. Écris les solutions générales : CeaxC\mathrm{e}^{ax} plus la solution constante.
  3. Utilise la condition initiale pour trouver CC.

Exemple corrigé

y′=−2y+6y' = -2y + 6 avec y(0)=1y(0) = 1.

Solution constante : 0=−2y+6  ⟺  y=30 = -2y + 6 \iff y = 3. Solutions : y(x)=Ce−2x+3y(x) = C\mathrm{e}^{-2x} + 3.

y(0)=C+3=1  ⟺  C=−2doncy(x)=−2e−2x+3y(0) = C + 3 = 1 \iff C = -2 \qquad \text{donc} \qquad \boxed{y(x) = -2\mathrm{e}^{-2x} + 3}

Quand xx tend vers +∞+\infty, y(x)y(x) tend vers 33 : c’est le comportement à long terme (température d’équilibre, par exemple).

Équations différentielles y’ = ay + bS’entraîner

Les pièges

  • La solution constante de y′=ay+by' = ay + b est −ba-\dfrac{b}{a}, pas ba\dfrac{b}{a}.
  • CC se calcule après avoir écrit la forme générale complète, solution constante comprise.