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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Équations différentielles : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Équations différentielles y’ = ay + b

S’entraîner sur ce type

Les solutions sont y=C eax−bay = C\,\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}. La solution constante est −ba-\dfrac{b}{a}, et la condition initiale donne CC.

1.

Quelle est la solution constante de l’équation différentielle ?

y′=2y+8y' = 2y + 8
Corrigé
  1. Une constante yy vérifie y′=0y' = 0 : 0=2y+80 = 2y + 8.
  2. y=−82=−4y = -\dfrac{8}{2} = -4

Réponsey = −4-4

2.

Les solutions s’écrivent y = C e^(−x) − 1. Donne C pour la solution telle que y(0) = 1.

y′=−y−1y(0)=1y' = -y - 1 \qquad y(0) = 1
Corrigé
  1. Solution constante : −1-1. Solutions : y=Ce−1x−1y = C\mathrm{e}^{-1x} - 1.
  2. y(0)=C−1=1doncC=2y(0) = C - 1 = 1 \quad\text{donc}\quad C = 2

RéponseC = 22

3.

Les solutions s’écrivent y = C e^(x) + 5. Donne C pour la solution telle que y(0) = −4.

y′=y−5y(0)=−4y' = y - 5 \qquad y(0) = -4
Corrigé
  1. Solution constante : 55. Solutions : y=Ce1x+5y = C\mathrm{e}^{1x} + 5.
  2. y(0)=C+5=−4doncC=−9y(0) = C + 5 = -4 \quad\text{donc}\quad C = -9

RéponseC = −9-9

Retrouver un coefficient d’une équation différentielle

S’entraîner sur ce type

On remplace yy par la solution donnée : f(x)=Cekxf(x) = C\mathrm{e}^{kx} vérifie f′=kff' = kf, et une solution constante a une dérivée nulle.

4.

La fonction constante égale à −1 est solution de l’équation différentielle y′ = 3y + b. Donne b.

y′=3y+by=−1y' = 3y + b \qquad y = -1
Corrigé
  1. Une fonction constante a une dérivée nulle : 0=3×(−1)+b0 = 3 \times (-1) + b.
  2. b=3b = 3

Réponseb = 33

5.

La fonction constante égale à 3 est solution de l’équation différentielle y′ = −y + b. Donne b.

y′=−y+by=3y' = -y + b \qquad y = 3
Corrigé
  1. Une fonction constante a une dérivée nulle : 0=−3+b0 = -3 + b.
  2. b=3b = 3

Réponseb = 33

6.

La fonction f est solution de l’équation différentielle y′ = ay. Donne a.

f(x)=3e−xf(x) = 3\mathrm{e}^{-x}
Corrigé
  1. f′(x)=−3e−x=−f(x)f'(x) = -3\mathrm{e}^{-x} = -f(x)
  2. donc a=−1\text{donc } a = -1

Réponsea = −1-1