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FicheNiveau : TLE SPÉ

Dérivée d’une fonction composée

Dériver uⁿ, e^u, ln u, √u, cos u et sin u avec la formule (v ∘ u)′ = (v′ ∘ u) × u′, sans oublier la dérivée intérieure.

L’essentiel

Pour une fonction composée f=v∘uf = v \circ u : f′(x)=v′(u(x))×u′(x)f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x). En pratique, avec uu une fonction dérivable :

Fonction Dérivée
unu^n n u′ un−1n\,u'\,u^{n-1}
eu\mathrm{e}^{u} u′ euu'\,\mathrm{e}^{u}
ln⁡u\ln u (avec u>0u > 0) u′u\dfrac{u'}{u}
u\sqrt{u} (avec u>0u > 0) u′2u\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
cos⁡u\cos u −u′sin⁡u-u'\sin u
sin⁡u\sin u u′cos⁡uu'\cos u

Dérivées des fonctions trigonométriques : cos⁡′=−sin⁡\cos' = -\sin et sin⁡′=cos⁡\sin' = \cos.

La méthode

  1. Repère la fonction « extérieure » (e…\mathrm{e}^{\ldots}, ln⁡(…)\ln(\ldots), (…)n(\ldots)^n) et la fonction « intérieure » uu.
  2. Calcule u′u'.
  3. Applique la ligne du tableau, puis simplifie.

Exemple corrigé

f(x)=ex2−3xf(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 3x} : u(x)=x2−3xu(x) = x^2 - 3x, u′(x)=2x−3u'(x) = 2x - 3.

f′(x)=(2x−3) ex2−3xf'(x) = \boxed{(2x - 3)\,\mathrm{e}^{x^2 - 3x}}

g(x)=ln⁡(5x+1)g(x) = \ln(5x + 1) sur ]−15 ; +∞[\left]-\dfrac{1}{5} \,;\, +\infty\right[ :

g′(x)=55x+1g'(x) = \boxed{\dfrac{5}{5x + 1}}

h(x)=(3x−2)4h(x) = (3x - 2)^4 : h′(x)=4×3×(3x−2)3=12(3x−2)3h'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 2)^3 = \boxed{12(3x - 2)^3}.

Dériver une fonction composéeS’entraîner

Les pièges

  • Oublier u′u' : la dérivée de e3x\mathrm{e}^{3x} est 3e3x3\mathrm{e}^{3x}, pas e3x\mathrm{e}^{3x}.
  • La dérivée de cos⁡u\cos u porte un signe moins.
  • Vérifie que ln⁡u\ln u et u\sqrt{u} sont bien définies : u>0u > 0.