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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Dérivée d’une composée : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Dériver une fonction composée

S’entraîner sur ce type

(un)′=n u′un−1(u^n)' = n\,u'u^{n-1}, (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u} et (eu)′=u′eu(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u.

1.

Calcule f′(0) (on admet que 6x + 1 > 0 au voisinage de 0).

f(x)=ln⁡(6x+1)f(x) = \ln(6x + 1)
Corrigé
  1. (ln⁡u)′=u′udoncf′(x)=66x+1(\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \quad\text{donc}\quad f'(x) = \dfrac{6}{6x + 1}
  2. f′(0)=61=6f'(0) = \dfrac{6}{1} = 6

Réponsef′(0) = 66

2.

Calcule f′(2).

f(x)=2x−3f(x) = \sqrt{2x - 3}
Corrigé
  1. (u)′=u′2udoncf′(x)=222x−3(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \quad\text{donc}\quad f'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x - 3}}
  2. f′(2)=221=1f'(2) = \dfrac{2}{2\sqrt{1}} = 1

Réponsef′(2) = 11

3.

Calcule f′(0).

f(x)=−5cos⁡(−2x)f(x) = -5\cos(-2x)
Corrigé
  1. (cos⁡u)′=−u′sin⁡udoncf′(x)=−10sin⁡(−2x)(\cos u)' = -u'\sin u \quad\text{donc}\quad f'(x) = -10\sin(-2x)
  2. f′(0)=−10×sin⁡0=0f'(0) = -10 \times \sin 0 = 0

Réponsef′(0) = 00

Dérivée d’une composée, sous toutes ses formes

S’entraîner sur ce type

(g(ax+b))′=a g′(ax+b)\big(g(ax + b)\big)' = a\,g'(ax + b), (u2)′=2u′u(u^2)' = 2u'u, (eu)′=u′eu(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u, (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}. Comme eu>0\mathrm{e}^u > 0, la dérivée de eu\mathrm{e}^u a le signe de u′u'.

4.

u est une fonction dérivable et strictement positive. Calcule f′(−1).

f(x)=u(x)u(−1)=4u′(−1)=6f(x) = \sqrt{u(x)} \qquad u(-1) = 4 \qquad u'(-1) = 6
Corrigé
  1. (u)′=u′2udoncf′(−1)=624=64(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \quad\text{donc}\quad f'(-1) = \dfrac{6}{2\sqrt{4}} = \dfrac{6}{4}
  2. f′(−1)=1,5f'(-1) = 1{,}5

Réponsef′(−1) = 1,51{,}5

5.

u est une fonction dérivable. Calcule f′(1).

f(x)=eu(x)u(1)=0u′(1)=4f(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \qquad u(1) = 0 \qquad u'(1) = 4
Corrigé
  1. (eu)′=u′eudoncf′(1)=4×e0(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u \quad\text{donc}\quad f'(1) = 4 \times \mathrm{e}^{0}
  2. f′(1)=4f'(1) = 4

Réponsef′(1) = 44

6.

g est une fonction dérivable sur ℝ. Calcule f′(−1).

f(x)=g(−2x−1)g′(1)=1f(x) = g(-2x - 1) \qquad g'(1) = 1
Corrigé
  1. f′(x)=−2 g′(−2x−1)f'(x) = -2\,g'(-2x - 1)
  2. f′(−1)=−2×g′(1)=−2×1=−2f'(-1) = -2 \times g'(1) = -2 \times 1 = -2

Réponsef′(−1) = −2-2