FicheNiveau : TLE SPÉ

Dénombrement : listes, arrangements, permutations, combinaisons

Reconnaître ce qu’on compte (ordre, répétitions) et choisir la bonne formule : n^k, arrangements, n!, combinaisons et triangle de Pascal.

L’essentiel

Tout dépend de deux questions : l’ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles permises ?

Situation	Nombre
$k$ -uplets d’un ensemble à $n$ éléments (ordre, répétitions)	$n^k$
$k$ -uplets d’éléments distincts (ordre, sans répétition)	$n(n - 1)\cdots(n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n - k)!}$
Permutations de $n$ éléments	$n! = n \times (n - 1) \times \cdots \times 1$
Parties à $k$ éléments (sans ordre, sans répétition)	$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$
Toutes les parties d’un ensemble à $n$ éléments	$2^n$

Propriétés des combinaisons :

\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1 \qquad \dbinom{n}{1} = n \qquad \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n - k} \qquad \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k + 1} = \dbinom{n + 1}{k + 1}

La dernière est la relation de Pascal, qui construit le triangle de Pascal ligne par ligne.

Décris un résultat possible : un mot ? un podium ? un groupe ?
Si changer l’ordre donne un autre résultat, l’ordre compte (mot, classement). Sinon, c’est une combinaison (équipe, main de cartes).
Applique la formule, ou un arbre si la situation est mixte.

Un code de cadenas a 4 chiffres : $10^4 = \boxed{10\,000}$ codes.

Le podium d’une course de 8 coureurs : $8 \times 7 \times 6 = \boxed{336}$ podiums.

Une délégation de 3 élèves parmi 8 : l’ordre ne compte pas.

\dbinom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{56}

Un podium (ordre) n’est pas une délégation (sans ordre) : $336 = 56 \times 3!$ .
$0! = 1$ , par convention.
Pour calculer $\dbinom{10}{8}$ , utilise la symétrie : $\dbinom{10}{2} = 45$ .