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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Dénombrement et combinaisons : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Dénombrer : listes, permutations, parties

S’entraîner sur ce type

Listes de pp éléments parmi nn avec répétition : npn^p. Rangements de nn objets : n!n!. Parties d’un ensemble à nn éléments : 2n2^n.

1.

8 coureurs disputent une course. Combien de podiums (or, argent, bronze) sont possibles ?

3 places ordonneˊes parmi 83 \text{ places ordonnées parmi } 8
Corrigé
  1. On choisit les places dans l’ordre, sans répétition : 8×7×6=3368 \times 7 \times 6 = 336.

Réponse 336336

2.

Dans une classe de 9 élèves, de combien de façons peut-on choisir 3 délégués (sans ordre) ?

(93)\dbinom{9}{3}
Corrigé
  1. Choisir 3 élèves sans ordre, c’est une combinaison : (93)\dbinom{9}{3}.
  2. (93)=9×8×73!=84\dbinom{9}{3} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3!} = 84

Réponse 8484

3.

12 coureurs disputent une course. Combien de classements des deux premiers sont possibles ?

2 places ordonneˊes parmi 122 \text{ places ordonnées parmi } 12
Corrigé
  1. On choisit les places dans l’ordre, sans répétition : 12×11=13212 \times 11 = 132.

Réponse 132132

Combinaisons et triangle de Pascal

S’entraîner sur ce type

(nk)=n!k! (n−k)!\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}. Relation de Pascal : (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}. Somme d’une ligne : 2n2^n.

4.

Utilise la relation de Pascal.

(41)=4(42)=6(52)=  ?\dbinom{4}{1} = 4 \qquad \dbinom{4}{2} = 6 \qquad \dbinom{5}{2} = \;?
Corrigé
  1. (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}
  2. (52)=4+6=10\dbinom{5}{2} = 4 + 6 = 10

Réponse 1010

5.

Calcule la somme des coefficients binomiaux.

(50)+(51)+⋯+(55)\dbinom{5}{0} + \dbinom{5}{1} + \cdots + \dbinom{5}{5}
Corrigé
  1. La somme compte toutes les parties d’un ensemble à 55 éléments : 25=322^{5} = 32.

Réponse 3232

6.

Calcule la somme des coefficients binomiaux.

(70)+(71)+⋯+(77)\dbinom{7}{0} + \dbinom{7}{1} + \cdots + \dbinom{7}{7}
Corrigé
  1. La somme compte toutes les parties d’un ensemble à 77 éléments : 27=1282^{7} = 128.

Réponse 128128