FicheNiveau : TLE SPÉ

Convexité, dérivée seconde et point d’inflexion

Étudier la convexité d’une fonction avec le signe de sa dérivée seconde, trouver un point d’inflexion et en déduire des inégalités.

L’essentiel

Pour $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , ces propriétés sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
sa courbe est au-dessus de ses tangentes (et en dessous de ses cordes) ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
$f''(x) \geq 0$ sur $I$ .

$f$ est concave dans le cas contraire : courbe en dessous de ses tangentes, $f'' \leq 0$ .

Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la convexité change. Il se trouve là où $f''$ s’annule en changeant de signe.

Exemples : $x \mapsto x^2$ et $\mathrm{e}^{x}$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ et $\sqrt{\phantom{x}}$ sont concaves.

La méthode

Calcule $f'$ , puis $f''$ .
Étudie le signe de $f''$ .
Conclus : convexe là où $f'' \geq 0$ , concave là où $f'' \leq 0$ , point d’inflexion aux changements de signe.

Inégalité de convexité : $\mathrm{e}^{x}$ est convexe et sa tangente en $0$ est $y = x + 1$ , donc $\mathrm{e}^{x} \geq x + 1$ pour tout $x$ .

Exemple corrigé

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$ .

f'(x) = 3x^2 - 12x + 5 \qquad f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)

$f''(x) \leq 0$ pour $x \leq 2$ et $f''(x) \geq 0$ pour $x \geq 2$ : $f$ est concave sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 2]$ , convexe sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ . Le point $A(2 \,;\, f(2)) = \boxed{A(2 \,;\, -6)}$ est un point d’inflexion.

Convexité et point d’inflexionS’entraîner

Les pièges

$f''(a) = 0$ ne suffit pas : il faut un changement de signe ( $x^4$ n’a pas de point d’inflexion en $0$ ).
On étudie le signe de $f''$ , pas celui de $f'$ (qui donne les variations).