2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
f est convexe là où f′′≥0, concave là où f′′≤0. Un point d’inflexion correspond à un changement de signe de f′′.
1.Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ?
f(x)=−x3−6x+2 Corrigé
- f′(x)=−3x2−6f′′(x)=−6x
- f′′(x)≥0⟺x≤0 : f est convexe sur ]−∞;0].
RéponseI = ]−∞;0]
2.Quelle est l’abscisse du point d’inflexion de la courbe de f ?
f(x)=2x3−18x2+4x−1 Corrigé
- f′(x)=6x2−36x+4f′′(x)=12x−36
- f′′ s’annule en 3 en changeant de signe : point d’inflexion d’abscisse 3.
Réponsex = 3
3.Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ?
f(x)=x3+6x2+2x+5 Corrigé
- f′(x)=3x2+12x+2f′′(x)=6x+12
- f′′(x)≥0⟺x≥−2 : f est convexe sur [−2;+∞[.
RéponseI = [−2;+∞[
On calcule f′′ ; comme ex>0, son signe est celui du facteur affine. f est convexe là où f′′≥0 ; le point d’inflexion est là où f′′ change de signe.
4.Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ?
f(x)=(3x−18)ex Corrigé
- f′(x)=3ex+(3x−18)ex=(3x−15)ex
- f′′(x)=(3x−12)ex
- Comme ex>0, f′′(x) a le signe de 3x−12, qui s’annule en 4 en changeant de signe.
- f est convexe laˋ ouˋ f′′≥0 : [4;+∞[
Réponsex ∈ [4;+∞[
5.Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ?
f(x)=(x−5)ex Corrigé
- f′(x)=ex+(x−5)ex=(x−4)ex
- f′′(x)=(x−3)ex
- Comme ex>0, f′′(x) a le signe de x−3, qui s’annule en 3 en changeant de signe.
- f est convexe laˋ ouˋ f′′≥0 : [3;+∞[
Réponsex ∈ [3;+∞[
6.Quelle est l’abscisse du point d’inflexion de la courbe de f ?
f(x)=(3x−15)ex Corrigé
- f′(x)=3ex+(3x−15)ex=(3x−12)ex
- f′′(x)=(3x−9)ex
- Comme ex>0, f′′(x) a le signe de 3x−9, qui s’annule en 3 en changeant de signe.
- f′′ change de signe en 3 : la courbe a un point d’inflexion d’abscisse 3.
Réponsex = 3