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FicheNiveau : TLE SPÉ

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire pour prouver qu’une équation f(x) = k a une unique solution, puis l’encadrer.

L’essentiel

Une fonction est continue sur un intervalle quand sa courbe se trace « sans lever le crayon ». Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, racine, fonctions trigonométriques) et leurs combinaisons sont continues là où elles sont définies. Toute fonction dérivable est continue.

Théorème des valeurs intermédiaires : si ff est continue sur [a ; b][a \,;\, b], alors pour tout kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x) = k a au moins une solution dans [a ; b][a \,;\, b].

Corollaire (« théorème de la bijection ») : si de plus ff est strictement monotone sur [a ; b][a \,;\, b], cette solution est unique.

Le théorème s’étend aux intervalles ouverts ou infinis, en remplaçant f(a)f(a) et f(b)f(b) par des limites.

La méthode

Pour montrer que f(x)=kf(x) = k a une unique solution α\alpha sur un intervalle II :

  1. ff est continue sur II (justifie-le) ;
  2. ff est strictement monotone sur II (tableau de variations) ;
  3. kk est compris entre les valeurs (ou limites) de ff aux bornes de II.

Pour encadrer α\alpha, cherche deux valeurs mm et m+1m + 1 avec f(m)<k<f(m+1)f(m) < k < f(m + 1) : alors m<α<m+1m < \alpha < m + 1. On affine au dixième, au centième (balayage à la calculatrice ou dichotomie).

Avec un tableau de variations, applique le corollaire sur chaque intervalle où ff est strictement monotone, puis additionne les solutions.

Exemple corrigé

f(x)=x3+2x−5f(x) = x^3 + 2x - 5 sur R\mathbb{R}. f′(x)=3x2+2>0f'(x) = 3x^2 + 2 > 0 : ff est continue et strictement croissante. Ses limites sont −∞-\infty et +∞+\infty, donc f(x)=0f(x) = 0 a une unique solution α\alpha.

f(1)=−2<0f(2)=7>0donc1<α<2f(1) = -2 < 0 \qquad f(2) = 7 > 0 \qquad \text{donc} \qquad \boxed{1 < \alpha < 2}

Au dixième : f(1,3)≈−0,20f(1{,}3) \approx -0{,}20 et f(1,4)≈0,54f(1{,}4) \approx 0{,}54, donc 1,3<α<1,4\boxed{1{,}3 < \alpha < 1{,}4}.

Théorème des valeurs intermédiairesS’entraîner

Les pièges

  • Sans continuité, le théorème ne s’applique pas : une fonction peut « sauter » par-dessus kk.
  • Sans stricte monotonie, on ne sait pas que la solution est unique.
  • Le théorème prouve l’existence, il ne donne pas la valeur exacte de la solution.