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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Continuité et valeurs intermédiaires : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Théorème des valeurs intermédiaires

S’entraîner sur ce type

Sur un intervalle où ff est continue et strictement monotone, f(x)=kf(x) = k a une solution unique si kk est entre les valeurs aux bornes. On encadre en testant les entiers.

1.

L’équation f(x) = 0 admet une unique solution α. Donne l’entier m tel que m < α < m + 1.

f(x)=x3+3x+7f(x) = x^3 + 3x + 7
Corrigé
  1. f′(x)=3x2+3>0f'(x) = 3x^2 + 3 > 0 : ff est continue et strictement croissante sur R\mathbb{R}.
  2. f(−2)=−7<0f(−1)=3>0f(-2) = -7 < 0 \qquad f(-1) = 3 > 0
  3. D’après le corollaire du TVI, −2<α<−1-2 < \alpha < -1.

Réponsem = −2-2

2.

L’équation f(x) = 0 admet une unique solution α. Donne l’entier m tel que m < α < m + 1.

f(x)=x3+3x−1f(x) = x^3 + 3x - 1
Corrigé
  1. f′(x)=3x2+3>0f'(x) = 3x^2 + 3 > 0 : ff est continue et strictement croissante sur R\mathbb{R}.
  2. f(0)=−1<0f(1)=3>0f(0) = -1 < 0 \qquad f(1) = 3 > 0
  3. D’après le corollaire du TVI, 0<α<10 < \alpha < 1.

Réponsem = 00

3.

f est continue sur [−3 ; 3], de tableau de variations ci-dessous. Combien l’équation f(x) = 9 a-t-elle de solutions ?

x−323f(x)3↘−2↗2\begin{array}{c|ccccc} x & -3 & & 2 & & 3 \\ \hline f(x) & 3 & \searrow & -2 & \nearrow & 2 \end{array}
Corrigé
  1. Sur [−3 ; 2][-3 \,;\, 2], ff va de 33 à −2-2 : 99 n’est pas atteint.
  2. Sur [2 ; 3][2 \,;\, 3], ff va de −2-2 à 22 : 99 n’est pas atteint.
  3. L’équation n’a pas de solution.

RéponseNombre : 00

Limite d’une suite définie par récurrence

S’entraîner sur ce type

Si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) avec ff continue et si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell, alors ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell) : on résout cette équation, en gardant la solution compatible avec la suite.

4.

On admet que la suite (uₙ) converge vers un réel ℓ. Donne ℓ.

u0=0un+1=0,5 un+1,5u_0 = 0 \qquad u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1{,}5
Corrigé
  1. La fonction f:x↦0,5x+1,5f : x \mapsto 0{,}5x + 1{,}5 est continue : la limite ℓ\ell vérifie ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
  2. ℓ=0,5ℓ+1,5  ⟺  0,5ℓ=1,5  ⟺  ℓ=3\ell = 0{,}5\ell + 1{,}5 \iff 0{,}5\ell = 1{,}5 \iff \ell = 3

Réponseℓ = 33

5.

On admet que la suite (uₙ) converge vers un réel ℓ. Donne ℓ.

u0=3un+1=0,8 un+1u_0 = 3 \qquad u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 1
Corrigé
  1. La fonction f:x↦0,8x+1f : x \mapsto 0{,}8x + 1 est continue : la limite ℓ\ell vérifie ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
  2. ℓ=0,8ℓ+1  ⟺  0,2ℓ=1  ⟺  ℓ=5\ell = 0{,}8\ell + 1 \iff 0{,}2\ell = 1 \iff \ell = 5

Réponseℓ = 55

6.

On admet que la suite (uₙ) converge vers un réel ℓ. Donne ℓ.

u0=3un+1=0,8 un+2,4u_0 = 3 \qquad u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 2{,}4
Corrigé
  1. La fonction f:x↦0,8x+2,4f : x \mapsto 0{,}8x + 2{,}4 est continue : la limite ℓ\ell vérifie ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell).
  2. ℓ=0,8ℓ+2,4  ⟺  0,2ℓ=2,4  ⟺  ℓ=12\ell = 0{,}8\ell + 2{,}4 \iff 0{,}2\ell = 2{,}4 \iff \ell = 12

Réponseℓ = 1212