FicheNiveau : TLE SPÉ

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres

Majorer la probabilité d’un écart à l’espérance avec Bienaymé-Tchebychev, choisir une taille d’échantillon, comprendre la loi des grands nombres.

L’essentiel

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour une variable $X$ d’espérance $\mu$ et de variance $V$ , et pour tout $\delta > 0$ :

P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{\delta^2} \qquad\text{donc}\qquad P(|X - \mu| < \delta) \geq 1 - \dfrac{V}{\delta^2}

Inégalité de concentration : pour la moyenne $M_n$ d’un échantillon de taille $n$ :

P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}

Loi des grands nombres : quand $n$ grandit, la probabilité que $M_n$ s’écarte de $\mu$ d’au moins $\delta$ tend vers $0$ . La moyenne observée se rapproche de l’espérance.

La méthode

Pour une taille d’échantillon garantissant $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \alpha$ :

Écris la condition suffisante $\dfrac{V}{n\delta^2} \leq \alpha$ .
Isole $n$ : $n \geq \dfrac{V}{\alpha\delta^2}$ .
Prends le plus petit entier qui convient.

Exemple corrigé

$X$ a pour variance $9$ . Avec $\delta = 6$ :

P(|X - \mu| \geq 6) \leq \dfrac{9}{36} = \boxed{0{,}25}

Un sondage : chaque réponse suit une loi de Bernoulli de variance au plus $0{,}25$ . Taille pour un écart d’au plus $0{,}05$ avec un risque d’au plus $0{,}1$ :

n \geq \dfrac{0{,}25}{0{,}1 \times 0{,}05^2} = 1\,000

Il faut donc un échantillon d’au moins $\boxed{1\,000}$ personnes.

Inégalité de Bienaymé-TchebychevS’entraîner

Les pièges

L’inégalité donne un majorant, souvent large : la vraie probabilité est en général bien plus petite.
Avec $\delta^2 \leq V$ , le majorant dépasse $1$ et n’apporte rien.
On divise par $n\delta^2$ dans l’inégalité de concentration : $\delta$ est au carré.