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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Inégalités de concentration : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

S’entraîner sur ce type

P(∣X−E(X)∣≥δ)≤V(X)δ2P(|X - E(X)| \geq \delta) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2}. Pour la moyenne d’un échantillon de taille nn, la variance est divisée par nn.

1.

M est la moyenne d’un échantillon de taille n d’une loi de variance 2,25. Quel est le plus petit n tel que l’inégalité de concentration garantisse P(|M − μ| ≥ 0,5) ≤ 0,05 ?

Vnδ2≤αV=2,25δ=0,5α=0,05\dfrac{V}{n\delta^2} \leq \alpha \qquad V = 2{,}25 \quad \delta = 0{,}5 \quad \alpha = 0{,}05
Corrigé
  1. n≥Vαδ2=2,250,05×0,52=180n \geq \dfrac{V}{\alpha\delta^2} = \dfrac{2{,}25}{0{,}05 \times 0{,}5^2} = 180
  2. Le plus petit entier convenable est 180180.

Réponsen = 180180

2.

X a pour variance 1. Quel majorant de P(|X − E(X)| ≥ 2) donne l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

P(∣X−μ∣≥2)≤  ?P(|X - \mu| \geq 2) \leq \;?
Corrigé
  1. P(∣X−μ∣≥δ)≤V(X)δ2=14=0,25P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25

Réponse 0,250{,}25

3.

X a pour variance 2. Quel majorant de P(|X − E(X)| ≥ 5) donne l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

P(∣X−μ∣≥5)≤  ?P(|X - \mu| \geq 5) \leq \;?
Corrigé
  1. P(∣X−μ∣≥δ)≤V(X)δ2=225=0,08P(|X - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V(X)}{\delta^2} = \dfrac{2}{25} = 0{,}08

Réponse 0,080{,}08

Appliquer l’inégalité de concentration

S’entraîner sur ce type

P(∣Mn−μ∣≥δ)≤Vnδ2P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2} ; par l’événement contraire, P(∣Mn−μ∣<δ)≥1−Vnδ2P(|M_n - \mu| < \delta) \geq 1 - \dfrac{V}{n\delta^2}.

4.

Mₙ est la moyenne d’un échantillon de taille 1000 d’une loi d’espérance μ et de variance 2. Quel majorant de la probabilité ci-dessous donne l’inégalité de concentration ?

P(∣Mn−μ∣≥0,1)≤  ?P(|M_n - \mu| \geq 0{,}1) \leq \;?
Corrigé
  1. P(∣Mn−μ∣≥δ)≤Vnδ2=21000×(0,1)2=0,2P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2} = \dfrac{2}{1000 \times (0{,}1)^2} = 0{,}2

Réponsemajorant = 0,20{,}2

5.

Mₙ est la moyenne d’un échantillon de taille 50 d’une loi d’espérance μ et de variance 0,5. Quel minorant de la probabilité ci-dessous donne l’inégalité de concentration ?

P(∣Mn−μ∣<0,2)≥  ?P(|M_n - \mu| < 0{,}2) \geq \;?
Corrigé
  1. P(∣Mn−μ∣≥δ)≤Vnδ2=0,550×(0,2)2=0,25P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2} = \dfrac{0{,}5}{50 \times (0{,}2)^2} = 0{,}25
  2. Par l’événement contraire : P(∣Mn−μ∣<0,2)≥1−0,25=0,75P(|M_n - \mu| < 0{,}2) \geq 1 - 0{,}25 = 0{,}75.

Réponseminorant = 0,750{,}75

6.

Mₙ est la moyenne d’un échantillon de taille 1000 d’une loi d’espérance μ et de variance 0,25. Quel majorant de la probabilité ci-dessous donne l’inégalité de concentration ?

P(∣Mn−μ∣≥0,05)≤  ?P(|M_n - \mu| \geq 0{,}05) \leq \;?
Corrigé
  1. P(∣Mn−μ∣≥δ)≤Vnδ2=0,251000×(0,05)2=0,1P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2} = \dfrac{0{,}25}{1000 \times (0{,}05)^2} = 0{,}1

Réponsemajorant = 0,10{,}1