FicheNiveau : 1RE SPÉ

Cercle trigonométrique : radians, cosinus et sinus

Placer un réel sur le cercle trigonométrique, convertir en radians et lire le cosinus et le sinus des angles remarquables.

L’essentiel

Le cercle trigonométrique a pour centre l’origine et pour rayon $1$ ; on le parcourt dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Un tour complet mesure $2\pi$ : $180° = \pi$ radians.

À chaque réel $x$ correspond un point $M$ du cercle. Ses coordonnées sont $(\cos x \,;\, \sin x)$ . Ajouter $2\pi$ redonne le même point.

Valeurs remarquables :

Angle	Cosinus	Sinus
$0$	$1$	$0$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$0$	$1$
$\pi$	$-1$	$0$

Pour tout $x$ : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ , et $-1 \leq \cos x \leq 1$ , $-1 \leq \sin x \leq 1$ .

La méthode

Pour un angle comme $\dfrac{2\pi}{3}$ ou $-\dfrac{\pi}{4}$ :

Place le point : $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ , il est dans le quart en haut à gauche.
Repère l’angle de référence ( $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ ou $\dfrac{\pi}{3}$ ) et prends ses valeurs dans le tableau.
Ajuste les signes selon le quart du cercle : à gauche, $\cos x < 0$ ; en bas, $\sin x < 0$ .

Exemple corrigé

$\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ : le point est le symétrique de celui de $\dfrac{\pi}{3}$ par rapport à l’axe des ordonnées.

\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \boxed{-\dfrac{1}{2}} \qquad \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}

Valeurs exactes de cosinus et sinusS’entraîner

Les pièges

Ne pas inverser cosinus et sinus : le cosinus est l’abscisse, le sinus l’ordonnée.
$\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ (même abscisse), mais $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
Pour convertir des degrés en radians, multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ : $60° = \dfrac{\pi}{3}$ .