2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus est l’abscisse du point et le sinus son ordonnée. On se ramène aux angles π 6 \frac{\pi}{6} 6 π π 4 \frac{\pi}{4} 4 π π 3 \frac{\pi}{3} 3 π
1. Donne la valeur exacte (lis-la sur le cercle trigonométrique).
sin ( − π 6 ) \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) sin ( − 6 π ) A. − 1 2 -\dfrac{1}{2} − 2 1 B. − 3 2 -\dfrac{\sqrt{3}}{2} − 2 3 C. 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 D. 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1
Corrigé Le point du cercle associé à − π 6 -\dfrac{\pi}{6} − 6 π ( 3 2 ; − 1 2 ) \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,;\, -\dfrac{1}{2}\right) ( 2 3 ; − 2 1 ) sin ( − π 6 ) = − 1 2 \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} sin ( − 6 π ) = − 2 1 Réponse − 1 2 -\dfrac{1}{2} − 2 1
2. Donne la valeur exacte (lis-la sur le cercle trigonométrique).
cos ( 7 π 4 ) \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) cos ( 4 7 π ) A. 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2 B. − 2 2 -\dfrac{\sqrt{2}}{2} − 2 2 C. − 1 2 -\dfrac{1}{2} − 2 1 D. − 3 2 -\dfrac{\sqrt{3}}{2} − 2 3
Corrigé Le point du cercle associé à 7 π 4 \dfrac{7\pi}{4} 4 7 π ( 2 2 ; − 2 2 ) \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \,;\, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) ( 2 2 ; − 2 2 ) cos ( 7 π 4 ) = 2 2 \cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} cos ( 4 7 π ) = 2 2 Réponse 2 2 \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 2
3. Donne la valeur exacte (lis-la sur le cercle trigonométrique).
cos ( 5 π 6 ) \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) cos ( 6 5 π ) A. 3 2 \dfrac{\sqrt{3}}{2} 2 3 B. 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 C. − 1 2 -\dfrac{1}{2} − 2 1 D. − 3 2 -\dfrac{\sqrt{3}}{2} − 2 3
Corrigé Le point du cercle associé à 5 π 6 \dfrac{5\pi}{6} 6 5 π ( − 3 2 ; 1 2 ) \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,;\, \dfrac{1}{2}\right) ( − 2 3 ; 2 1 ) cos ( 5 π 6 ) = − 3 2 \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} cos ( 6 5 π ) = − 2 3 Réponse − 3 2 -\dfrac{\sqrt{3}}{2} − 2 3
π \pi π 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ 2 π 2\pi 2 π ] − π ; π ] \left]-\pi \,;\, \pi\right] ] − π ; π ]
4. Convertis −45° en radians, sous la forme kπ : donne k.
− 45 ∘ = k π rad -45^\circ = k\pi\text{ rad} − 4 5 ∘ = k π rad Corrigé π \pi π 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ 180 180 180 − 45 180 = − 1 4 donc − 45 ∘ = − π 4 rad \dfrac{-45}{180} = -\dfrac{1}{4} \quad\text{donc}\quad -45^\circ = -\dfrac{\pi}{4}\text{ rad} 180 − 45 = − 4 1 donc − 4 5 ∘ = − 4 π rad Réponse k = − 1 4 -\dfrac{1}{4} − 4 1
5. Le réel x ci-dessous a le même point image sur le cercle trigonométrique qu’un unique réel de ]−π ; π]. Écris ce réel sous la forme kπ : donne k.
x = 11 π 6 x = \dfrac{11\pi}{6} x = 6 11 π Corrigé Deux réels qui diffèrent d’un multiple de 2 π 2\pi 2 π 11 π 6 − 2 π = − π 6 \dfrac{11\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{\pi}{6} 6 11 π − 2 π = − 6 π − π 6 ∈ ] − π ; π ] donc k = − 1 6 -\dfrac{\pi}{6} \in \left]-\pi \,;\, \pi\right] \quad\text{donc}\quad k = -\dfrac{1}{6} − 6 π ∈ ] − π ; π ] donc k = − 6 1 Réponse k = − 1 6 -\dfrac{1}{6} − 6 1
6. Convertis cette mesure en degrés.
5 π 6 rad \dfrac{5\pi}{6}\text{ rad} 6 5 π rad Corrigé π \pi π 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ 5 π 6 rad = 5 6 × 180 ∘ = 150 ∘ \dfrac{5\pi}{6}\text{ rad} = \dfrac{5}{6} \times 180^\circ = 150^\circ 6 5 π rad = 6 5 × 18 0 ∘ = 15 0 ∘ Réponse 150 ° 150\ \text{°} 150 °