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Formules à connaître pour l’épreuve anticipée de maths : calcul, évolutions, géométrie, probabilités

Les formules à savoir par cœur pour l’épreuve anticipée de maths, sans calculatrice : fractions, puissances, identités, évolutions, droites, géométrie, probabilités.

Vérifié le 9 octobre 20263 textes officiels4 min de lecture

À l’épreuve anticipée, la calculatrice est interdite et la note de service ne prévoit aucun formulaire : les formules doivent être sues. Ce formulaire rassemble celles qu’utilisent les automatismes des programmes de seconde et de première (communs aux trois sujets), puis, à part, celles du sujet de spécialité.

Calcul : fractions, puissances, identités

Règle	Formule	Exemple
Somme de fractions	$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$	$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$
Produit	$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$	$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$
Quotient	$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$	$\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5} = \dfrac{5}{6}$
Inverse d’une fraction	$\dfrac{1}{a/b} = \dfrac{b}{a}$	$\dfrac{1}{0{,}25} = 4$
Produit de puissances	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$10^3 \times 10^{-5} = 10^{-2}$
Quotient de puissances	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{2^7}{2^4} = 2^3 = 8$
Puissance de puissance	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(5^2)^3 = 5^6$
Exposant négatif	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$10^{-3} = 0{,}001$

Les identités remarquables, dans les deux sens (développer et factoriser) :

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Les équations à connaître

$x^2 = a$ : deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a > 0$ , une seule ( $0$ ) si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ ;
produit nul : $A \times B = 0$ si et seulement si $A = 0$ ou $B = 0$ ;
$\dfrac{a}{x} = b$ , avec $a$ et $b$ non nuls (et $x \neq 0$ ) : $x = \dfrac{a}{b}$ .

Pourcentages et évolutions

Situation	Formule
Prendre $t\,\%$ d’une quantité	multiplier par $\dfrac{t}{100}$
Augmenter de $t\,\%$	multiplier par $CM = 1 + \dfrac{t}{100}$
Diminuer de $t\,\%$	multiplier par $CM = 1 - \dfrac{t}{100}$
Taux d’évolution de $V_0$ à $V_1$	$t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$ , ou $t = CM - 1$
Évolutions successives	on multiplie les coefficients : $CM = CM_1 \times CM_2$
Évolution réciproque	coefficient $\dfrac{1}{CM}$

Exemple : $+20\,\%$ puis $-10\,\%$ donnent $CM = 1{,}2 \times 0{,}9 = 1{,}08$ , soit une hausse globale de $8\,\%$ (et non $10\,\%$ ).

Fonctions et droites

Notion	Formule
Coefficient directeur de $(AB)$	$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Équation réduite d’une droite non verticale	$y = mx + p$ , $p$ ordonnée à l’origine
Point sur une courbe	$M(x \,;\, y)$ est sur la courbe de $f$ si et seulement si $y = f(x)$
Signe de $ax + b$ ( $a \neq 0$ )	s’annule en $-\dfrac{b}{a}$ , du signe de $a$ à droite de cette valeur

Géométrie et grandeurs

Dans le triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$ :

BC^2 = AB^2 + AC^2 \qquad \cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} \qquad \sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} \qquad \tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}

Thalès : si $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ , alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ .

Figure ou solide	Formule
Cercle de rayon $r$	périmètre $2\pi r$ , aire du disque $\pi r^2$
Triangle	aire $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$
Pavé droit, prisme, cylindre	volume $\mathcal{B} \times h$
Pyramide, cône	volume $\dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$
Boule de rayon $r$	volume $\dfrac{4}{3}\pi r^3$

Sans calculatrice, on laisse $\pi$ dans le résultat : un disque de rayon $3$ a une aire de $9\pi$ .

Conversions : $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ ; $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}$ ; $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$ ; pour passer des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$ .

Statistiques et probabilités

Notion	Formule ou définition
Moyenne avec effectifs	$\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{N}$
Médiane	la valeur qui partage la série rangée en deux moitiés
Quartiles	$Q_1$ : plus petite valeur telle qu’au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales ; $Q_3$ : de même avec $75\,\%$
Écart interquartile	$Q_3 - Q_1$
Événement contraire	$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
Équiprobabilité	$P(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre d’issues possibles}}$
Intersection (arbre)	$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$
Probabilité conditionnelle	$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Pour le sujet de spécialité

Le sujet des élèves de spécialité porte aussi sur le programme de première. Les formules qui reviennent le plus :

Chapitre	Formules
Second degré	$\Delta = b^2 - 4ac$ ; si $\Delta > 0$ , $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; sommet en $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$
Suites arithmétiques	$u_n = u_0 + nr$ ; $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$
Suites géométriques	$v_n = v_0 \times q^n$ ; $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ ( $q \neq 1$ )
Dérivées usuelles	$(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ ; $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ; $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$
Opérations	$(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Tangente en $a$	$y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Exponentielle	$\mathrm{e}^{a + b} = \mathrm{e}^a \mathrm{e}^b$ ; $\mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^a}$
Produit scalaire	$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ ; $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ si et seulement si $\vec{u} \perp \vec{v}$

Les retenir pour de bon

Lire un formulaire ne suffit pas : une formule se retient en l’utilisant. Chaque notion a sa fiche de cours, avec une méthode, des exemples corrigés et les pièges à éviter, et l’exerciseur la fait pratiquer sans calculatrice.

Fiches de coursL’essentiel, la méthode et les pièges de chaque notionVoir les fiches →

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Sources officielles

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