Signe d’une expression et inéquations du premier degré

Étudier le signe de ax + b et d’un produit (x − a)(x − b), résoudre une inéquation et écrire la solution en intervalle.

L’essentiel

L’expression $ax + b$ (avec $a \neq 0$) s’annule en $x = -\dfrac{b}{a}$. Elle a le signe de $a$ à droite de cette valeur, et le signe contraire à gauche.

Un produit de deux facteurs $(x - a)(x - b)$, avec $a < b$, est :

• négatif entre les racines, sur $[a \,;\, b]$ ;
• positif à l’extérieur, sur $]-\infty \,;\, a] \cup [b \,;\, +\infty[$.

La méthode pour une inéquation

On la résout comme une équation, avec une règle en plus :

Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.

Puis on écrit l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle. Le crochet est tourné vers le nombre s’il est compris, vers l’extérieur sinon. Du côté de l’infini, il est toujours ouvert.

Exemple corrigé

On a divisé par $-3$ : le sens change. On écrit $S = ]-\infty \,;\, 2]$.

Signe de $(x + 1)(x - 4)$ : les racines sont $-1$ et $4$. L’expression est négative ou nulle sur $[-1 \,;\, 4]$, positive ou nulle sur $]-\infty \,;\, -1] \cup [4 \,;\, +\infty[$.

Les pièges

• Oublier de changer le sens en divisant par un négatif.
• Mal orienter les crochets : $x < 3$ s’écrit $]-\infty \,;\, 3[$, avec le crochet ouvert en $3$.
• Lire graphiquement « $f(x) \geq 0$ », c’est chercher où la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, pas au-dessus de l’axe des ordonnées.