Fiche · 1re

Probabilités conditionnelles : tableau croisé et arbre pondéré

Calculer P(A ∩ B), une probabilité conditionnelle et une probabilité totale à partir d’un tableau ou d’un arbre.

L’essentiel

La probabilité de B sachant A, notée $P_A(B)$ , est la probabilité que B se réalise quand on sait déjà que A est réalisé :

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

Trois probabilités à ne pas confondre :

Notation	Se lit	Dans un tableau d’effectifs
$P(A \cap B)$	A et B	case A-B divisée par l’effectif total
$P_A(B)$	B sachant A	case A-B divisée par le total de la ligne A
$P_B(A)$	A sachant B	case A-B divisée par le total de la colonne B

Les probabilités des branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1.
On multiplie le long d’un chemin : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .
On additionne les chemins qui mènent à B (probabilités totales) :

P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)

$P(A) = 0{,}4$ , $P_A(B) = 0{,}3$ et $P_{\overline{A}}(B) = 0{,}5$ .

P(A \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12

P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}12 + 0{,}3 = 0{,}42

« Sachant que » change le dénominateur : on ne divise plus par l’effectif total.
$P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont en général différentes.
Sur une branche partant de $\overline{A}$ , la probabilité de $\overline{A}$ vaut $1 - P(A)$ .