Fiche · 2nde · 1re

Équations produit nul et équations x² = a

Résoudre une équation produit nul et une équation du type x² = a, sans oublier de solution.

L’essentiel

Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

A \times B = 0 \iff A = 0 \;\text{ou}\; B = 0

Pour l’équation $x^2 = a$ , tout dépend du signe de $a$ :

Cas	Solutions
$a > 0$	deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$
$a = 0$	une seule solution : $0$
$a < 0$	aucune solution, car un carré n’est jamais négatif

Pour une équation produit nul :

Vérifier que l’équation est bien de la forme produit $= 0$ (sinon, tout ramener d’un côté et factoriser).
Écrire « facteur 1 $= 0$ ou facteur 2 $= 0$ ».
Résoudre chaque petite équation et donner toutes les solutions.

(x - 3)(2x + 5) = 0

$x - 3 = 0$ ou $2x + 5 = 0$ , donc $x = 3$ ou $x = -\dfrac{5}{2}$ . On écrit $S = \left\{-\dfrac{5}{2} \,;\, 3\right\}$ .

x^2 = 49 \quad\text{donc}\quad x = 7 \;\text{ou}\; x = -7, \qquad x^2 = -4 \quad\text{n’a pas de solution.}

Oublier la solution négative de $x^2 = a$ : $x^2 = 49$ a deux solutions, $7$ et $-7$ .
Le théorème ne marche que si le produit vaut zéro : $(x - 1)(x + 2) = 5$ ne donne pas $x - 1 = 5$ ou $x + 2 = 5$ .
Attention aux signes : $x + 4 = 0$ donne $x = -4$ , pas $4$ .