Bac 2026, spécialité maths, jour 2 (métropole) : sujet et corrigé

Sujet de spécialité maths du 17 juin 2026 en métropole : tétraèdre et projeté, pollution d’un bassin, vrai-faux de probabilités, étude d’un logo.

Durée

4 heures

Calculatrice

autorisée

Sujet officiel

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Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

Format : mercredi 17 juin 2026, 4 heures, quatre exercices, calculatrice en mode examen autorisée. La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements comptent dans la note.

Dans le repère orthonormé $\left(O \,;\, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\right)$, on considère les points $A(2 \,;\, 1 \,;\, 1)$, $B(3 \,;\, -2 \,;\, 0)$, $C(0 \,;\, -1 \,;\, 1)$ et $D(0 \,;\, 0 \,;\, 2)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x - y + 4z - 5 = 0$.

3. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$ est donnée par :

4. Montrer que le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ est le point $H\left(-\dfrac{1}{6} \,;\, \dfrac{1}{6} \,;\, \dfrac{4}{3}\right)$.

5. a. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.

b. Montrer que l’aire du triangle $ABC$ est $3\sqrt{2}$.

6. a. En déduire que le volume du tétraèdre $ABCD$ est égal à $1$. On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

b. On admet que la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $\sqrt{2}$. En déduire l’aire du triangle $BCD$.

7. Dans cette question, on note $D_k$ le point ayant pour coordonnées $(0 \,;\, 0 \,;\, k)$ où $k$ est un réel.

a. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$, $B$, $C$ et $D_k$ sont coplanaires. Quel est alors le projeté orthogonal du point $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ?

b. Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que $A$ soit le projeté orthogonal de $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ?

Un bassin destiné à l’élevage des truites contient $30\,000$ litres d’eau, régulièrement renouvelée. Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières. On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l’eau par une substance polluante à l’aide de deux modèles différents. Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : modèle discret

On note $V_n$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, $n$ heures après le début du phénomène de pollution. On a ainsi $V_0 = 0$. On admet que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = 0{,}995\,V_n + 6$.

1. Calculer $V_1$ et $V_2$.

2. Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu’il renvoie le volume en litre de substance polluante présente dans le bassin après $n$ heures.

def volume(n):
    v = …
    for k in range(n):
        v = …………
    return v

3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $V_n \leq V_{n+1} \leq 1\,200$.

4. Justifier que la suite $(V_n)$ converge, et calculer sa limite.

def volume(n):
    v = 0
    for k in range(n):
        v = 0.995*v + 6
    return v

Partie B : modèle continu

On note $v(t)$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l’instant $t$, en heure. On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$, et on note $v'$ sa fonction dérivée. On considère que le phénomène de pollution débute au temps $t = 0$ ; ainsi $v(0) = 0$. On admet que la fonction $v$ est solution de l’équation différentielle $(E) : y' = -0{,}005y + 6$, où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

1. a. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $(E)$ sur $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

b. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ : $v(t) = 1\,200\left(1 - \mathrm{e}^{-0{,}005t}\right)$.

c. Calculer la limite de $v$ en $+\infty$.

d. Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

2. Un taux de substance polluante supérieur à $5\,\%$ du volume du bassin nécessite un nettoyage complet. Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?

3. Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l’élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas $50$ litres. Déterminer la valeur exacte de l’instant au-delà duquel le volume de la substance dépasse $50$ litres dans le bassin. En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On désigne par « musiciens professionnels » l’ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.). Cette étude indique que $52\,\%$ des musiciens professionnels jouent de la Pop ; parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, $32\,\%$ sont des femmes ; $20\,\%$ des musiciens professionnels sont des femmes. On choisit au hasard une personne dans l’ensemble des musiciens professionnels. On note $O$ l’évènement « la personne joue de la Pop » et $F$ l’évènement « la personne est une femme ».
Affirmation 1 : si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu’elle joue de la Pop est de $0{,}832$.

2. La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à $6{,}2\,\%$. On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de $5\,000$ personnes au sein de cette population. La population considérée est assez importante pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l’échantillon.
Affirmation 2 : en arrondissant le résultat au dixième, on a $P(X \leq 340) \approx 0{,}4$.
Affirmation 3 : en appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu’il y a plus de $95\,\%$ de chance que, sur cet échantillon de $5\,000$ actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre $230$ et $390$.

3. Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à $10$ personnes dont $4$ sont des musiciens professionnels. Deux équipes de $5$ joueurs s’affrontent. Elles sont chacune constituées de $2$ musiciens professionnels et de $3$ personnes qui ne le sont pas.
Affirmation 4 : on peut former ainsi $120$ équipes différentes.

Partie A

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal. On note $f'$ sa fonction dérivée. On précise que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point $C$ d’abscisse $1$, et que la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left(\dfrac{1}{2} \,;\, 0\right)$ passe par le point $B\left(1 \,;\, \mathrm{e}^2\right)$.

1. À l’aide du graphique :

a. Donner $f'(1)$.

b. Donner la solution de l’équation $f(x) = 0$ sur l’intervalle $[0 \,;\, 3]$.

2. Déterminer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

3. Parmi les trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction $f$. Indiquer lesquelles et justifier.

Partie B

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-dessous (Fig. 1). La dimension de $0{,}3$ cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L’industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l’aide d’une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en partie A, et de l’image de cette portion par la symétrie par rapport à l’axe des abscisses, sur un intervalle $[0{,}5 \,;\, \alpha]$. Le nombre $\alpha$ est un réel supérieur à $1$ que l’on déterminera dans cette partie. L’ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d’unité $1$ cm.

On admet que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ par $f(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^{-2x + 3}$.

1. a. Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ : $f(x) = \mathrm{e}^2 \times \dfrac{2x - 1}{\mathrm{e}^{2x - 1}}$.

b. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. (On pourra poser $X = 2x - 1$.)

2. a. Montrer que pour tout $x$ de l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$, $f'(x) = (-4x + 4)\mathrm{e}^{-2x + 3}$.

b. Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

3. Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l’égalité $f(\alpha) = 0{,}15$. Montrer qu’il existe une unique valeur de $\alpha$ dans l’intervalle $[1 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ qui permette de vérifier cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.

Partie C

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d’acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de $0{,}2$ cm.

1. On considère $I = \displaystyle\int_{0{,}5}^{3{,}3} f(x)\,\mathrm{d}x$. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’intégrale $I$ arrondie au dixième est égale à $3{,}6$.

2. On précise que le volume du porte-clé est égal à : aire du logo $\times$ épaisseur de la plaque. Déterminer le volume du porte-clé en $\text{cm}^3$, arrondi au dixième.