Bac 2026, spécialité maths, jour 2 (centres étrangers) : sujet et corrigé

1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ ; la première coordonnée donnerait $1 = k \times 0$, impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

2. On calcule les produits scalaires avec deux vecteurs non colinéaires du plan :

$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ : c’est un vecteur normal à ce plan.

3. Le plan a une équation de la forme $4x + 4y + 2z + d = 0$. Il passe par $A(1 \,;\, 0 \,;\, 3)$ : $4 + 0 + 6 + d = 0$, donc $d = -10$. En divisant par $2$ :

4. $2 \times 0 + 2 \times 2 + 1 - 5 = 0$ : les coordonnées de $H$ vérifient l’équation, donc $H \in (ABC)$.

5. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$, d’où :

Donc $\widehat{BAH} = 45°$.

6. $(d)$ est orthogonale au plan : elle est dirigée par un vecteur normal, par exemple $\dfrac{1}{2}\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Elle passe par $H(0 \,;\, 2 \,;\, 1)$ :

7. Comme $H$ est dans le plan et que $(d)$ lui est orthogonale, $H$ est le projeté orthogonal sur $(ABC)$ de tout point de $(d)$. La distance de $S$ au plan est donc $HS$.

Le point $S$ de paramètre $t$ vérifie $\overrightarrow{HS}\begin{pmatrix} 2t \\ 2t \\ t \end{pmatrix}$, donc $HS = \sqrt{9t^2} = 3|t|$.

$HS = 6 \iff |t| = 2 \iff t = 2$ ou $t = -2$. L’abscisse $x_S = 2t$ doit être positive : $t = 2$, d’où $S(4 \,;\, 6 \,;\, 3)$.

Vérification : $\dfrac{|2 \times 4 + 2 \times 6 + 3 - 5|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \dfrac{18}{3} = 6$.

1. Premier niveau : $P(J) = 0{,}21$, $P(M) = 0{,}46$, $P(S) = 0{,}33$ (la somme fait bien $1$). Second niveau :

• $P_J(R) = 0{,}7$ et $P_J(\overline{R}) = 0{,}3$ ;
• $P_M(R) = 0{,}46$ et $P_M(\overline{R}) = 0{,}54$ ;
• $P_S(R) = 0{,}15$ et $P_S(\overline{R}) = 0{,}85$.

2.

La probabilité que la personne interrogée ait entre $30$ et $59$ ans et ait déjà publié sur ce réseau social est d’environ $0{,}212$ : environ $21{,}2\,\%$ des habitants d’au moins $15$ ans sont des $30$-$59$ ans qui ont déjà publié.

3. a. $J$, $M$ et $S$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

$P(R) \approx 0{,}408$.

b. On cherche $P_R(S)$ :

1. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}41$ : $X \sim \mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}41)$.

2. « Au moins la moitié » signifie $X \geq 50$. À la calculatrice, $P(X \leq 49) \approx 0{,}957$, donc :

3. $E(X) = np = 100 \times 0{,}41 = 41$. Si l’on répète ce sondage un grand nombre de fois, on compte en moyenne $41$ personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les $100$ interrogées.

Chaque $X_i$ suit la loi $\mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}41)$, avec :

$Y$ est la moyenne de $150$ variables aléatoires indépendantes (les sondages sont menés de façon indépendante) de même loi. Par linéarité de l’espérance, $E(Y) = 41$ ; par indépendance :

« $37 < Y < 45$ » équivaut à « $|Y - 41| < 4$ ». D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (ou l’inégalité de concentration) avec $\delta = 4$ :

En passant à l’événement contraire :

Comme $1 - \dfrac{24{,}19}{2\,400} > 0{,}98$ (car $\dfrac{24{,}19}{2\,400} < \dfrac{48}{2\,400} = 0{,}02$), la probabilité que $Y$ soit strictement comprise entre $37$ et $45$ est strictement supérieure à $98\,\%$.

1. $f = \ln(u)$ avec $u(x) = 3x^2 + 2x$, strictement positive sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$. Donc $f' = \dfrac{u'}{u}$ :

Pour $x \geq 2$, $6x + 2 > 0$ et $3x^2 + 2x > 0$, donc $f'(x) > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

2. a. $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$. De plus $g(2) = \ln(16) - 2 \approx 0{,}77 > 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$. Comme $0$ est compris entre $-\infty$ et $g(2)$, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

b. À la calculatrice : $g(4{,}04) \approx 0{,}0038 > 0$ et $g(4{,}05) \approx -0{,}0016 < 0$, donc $4{,}04 < \alpha < 4{,}05$. Plus finement, $g(4{,}045) \approx 0{,}0011 > 0$, donc $4{,}045 < \alpha < 4{,}05$ et $\alpha \approx 4{,}05$.

c. $g$ est strictement décroissante et s’annule en $\alpha$ :

Pour tout $n$, $a_{n+1} = f(a_n)$ dès que $a_n \geq 2$. Remarque utile : $g(\alpha) = 0$ signifie $f(\alpha) = \alpha$.

1. On raisonne par récurrence sur $n$. Soit $\mathcal{P}(n)$ : « $2 \leq a_n \leq \alpha$ ».

• Initialisation : $2 \leq a_0 \leq \alpha$ par hypothèse, donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
• Hérédité : supposons $2 \leq a_n \leq \alpha$ pour un entier $n$. La fonction $f$ est croissante sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$, donc $f(2) \leq f(a_n) \leq f(\alpha)$, c’est-à-dire $\ln(16) \leq a_{n+1} \leq \alpha$. Or $\ln(16) \approx 2{,}77 \geq 2$, donc $2 \leq a_{n+1} \leq \alpha$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
• Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $2 \leq a_n \leq \alpha$.

2. Pour tout $n$, $a_{n+1} - a_n = f(a_n) - a_n = g(a_n)$. Comme $a_n \in [2 \,;\, \alpha]$, le tableau de signes de la partie A donne $g(a_n) \geq 0$. Donc $a_{n+1} \geq a_n$ : la suite $(a_n)$ est croissante.

3. La suite $(a_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$ : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge.

4. Notons $\ell$ sa limite. Comme $2 \leq a_n \leq \alpha$ pour tout $n$, on a $2 \leq \ell \leq \alpha$ par passage à la limite dans les inégalités. La fonction $f$ est continue sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ ; en passant à la limite dans $a_{n+1} = f(a_n)$, on obtient $\ell = f(\ell)$, soit $g(\ell) = 0$. Or $\alpha$ est l’unique solution de cette équation sur $[2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ : $\ell = \alpha$.

1. Avec $a_0 = 2$, on a bien $2 \leq a_0 \leq \alpha$ : d’après la partie B, $a_n \leq \alpha$ pour tout $n$.

La suite $(b_n)$ est décroissante et converge vers $\alpha$, donc tous ses termes sont supérieurs ou égaux à sa limite : $b_n \geq \alpha$ pour tout $n$.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $a_n \leq \alpha \leq b_n$.

2. a. Le programme calcule les termes des deux suites tant que l’écart $b_n - a_n$ dépasse $10^{-2}$. À la calculatrice (valeurs arrondies au millième) :

L’écart passe sous $0{,}01$ pour la première fois à $n = 9$ : algo(2) renvoie $(9 \,;\, 4{,}044)$.

b. $9$ est le plus petit rang $n$ pour lequel $b_n - a_n \leq 10^{-2}$. Comme $a_9 \leq \alpha \leq b_9$, on a $0 \leq \alpha - a_9 \leq 10^{-2}$ : $a_9 \approx 4{,}044$ est une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

• $C_1$ représente $f$ ;
• $C_3$ représente $f'$ ;
• $C_2$ représente $f''$.

Pour s’en convaincre : $C_1$ décroît jusqu’à $x \approx 1{,}4$ puis croît jusqu’à $x \approx 3{,}6$, et $C_3$ est négative, puis positive, puis négative en changeant de signe à ces mêmes abscisses. De même, $C_3$ croît jusqu’à $x = 2$ puis décroît jusqu’à $x = 5$, et $C_2$ s’annule en changeant de signe en $2$ et en $5$.

1. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, avec la formule $(uv)' = u'v + uv'$ :

Donc $g'(x) + g(x) = (2x - 3)\mathrm{e}^{-x}$ pour tout réel $x$ : $g$ est solution de $(E)$.

2. $y' + y = 0$ s’écrit $y' = -y$. Ses solutions sont les fonctions $x \mapsto K\mathrm{e}^{-x}$, avec $K \in \mathbb{R}$.

3. Les solutions de $(E)$ s’obtiennent en ajoutant à la solution particulière $g$ les solutions de l’équation homogène $y' + y = 0$. Ce sont les fonctions :

4. $f(0) = (0 - 0 + K)\mathrm{e}^{0} = K$, donc $K = 2$ :

C’est la fonction étudiée dans la partie C.

1. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x} > 0$ : $f(x)$ a le signe de $x^2 - 3x + 2$. Ce trinôme a pour racine évidente $1$, et le produit des racines vaut $2$ : $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Il est du signe de son coefficient dominant ($1 > 0$) à l’extérieur des racines :

2. a. En $-\infty$ : $-x \to +\infty$, donc $\mathrm{e}^{-x} \to +\infty$ ; et $x^2 - 3x + 2 \to +\infty$ (il se comporte comme $x^2$). Par produit, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

b. En $+\infty$, on développe : $f(x) = x^2\mathrm{e}^{-x} - 3x\mathrm{e}^{-x} + 2\mathrm{e}^{-x}$. Par croissance comparée, $x^2\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}} \to 0$ et $x\mathrm{e}^{-x} \to 0$ ; de plus $\mathrm{e}^{-x} \to 0$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

3. a. Première intégration par parties : $u(x) = x^2 - 3x + 2$, $v'(x) = \mathrm{e}^{-x}$, d’où $u'(x) = 2x - 3$ et $v(x) = -\mathrm{e}^{-x}$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[0 \,;\, 1]$.

avec $J = \displaystyle\int_0^1 (2x - 3)\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$.

Seconde intégration par parties : $u(x) = 2x - 3$, $v'(x) = \mathrm{e}^{-x}$, d’où $u'(x) = 2$ et $v(x) = -\mathrm{e}^{-x}$.

Donc $I = 2 - 1 - \mathrm{e}^{-1} = 1 - \dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

b. D’après la question 1, $f \geq 0$ sur $[0 \,;\, 1]$. $I$ est donc l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 1$ : environ $0{,}632$ unité d’aire.

1. On dérive $f(x) = \mathrm{e}^{-x}(x^2 - 3x + 2)$ :

La tangente $(T_a)$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Elle coupe l’axe des ordonnées au point d’abscisse $0$, d’ordonnée :

soit $(a^3 - 4a^2 + 2a + 2)\mathrm{e}^{-a}$.

2. Étape 1 : traduire le problème. $(T_a)$ passe par l’origine si et seulement si elle coupe l’axe des ordonnées en $0$, c’est-à-dire $(a^3 - 4a^2 + 2a + 2)\mathrm{e}^{-a} = 0$. Comme $\mathrm{e}^{-a} > 0$, cela équivaut à $h(a) = 0$, avec $h(a) = a^3 - 4a^2 + 2a + 2$.

Étape 2 : étudier $h$. $h'(a) = 3a^2 - 8a + 2$, de discriminant $64 - 24 = 40$. Ses racines sont $\beta_1 = \dfrac{4 - \sqrt{10}}{3} \approx 0{,}28$ et $\beta_2 = \dfrac{4 + \sqrt{10}}{3} \approx 2{,}39$. $h$ est croissante sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, \beta_1]$, décroissante sur $[\beta_1 \,;\, \beta_2]$, croissante sur $[\beta_2 \,;\, +\infty\mathclose{[}$. Ses limites sont $-\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ (comportement de $a^3$). À la calculatrice, $h(\beta_1) \approx 2{,}27 > 0$ et $h(\beta_2) \approx -2{,}42 < 0$.

Étape 3 : compter les solutions. $h$ est continue et strictement monotone sur chacun des trois intervalles, et change de signe sur chacun d’eux. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(a) = 0$ a exactement une solution sur chaque intervalle, donc exactement trois solutions réelles : $a_1 \approx -0{,}48$, $a_2 \approx 1{,}31$ et $a_3 \approx 3{,}17$ (on peut aussi vérifier $h(-1) = -5$, $h(0) = 2$, $h(2) = -2$, $h(4) = 10$).

Étape 4 : conclure. Ces trois points de contact donnent trois tangentes distinctes : leurs coefficients directeurs $f'(a_1) \approx -12{,}4$, $f'(a_2) \approx -0{,}044$ et $f'(a_3) \approx 0{,}034$ sont différents. Il y a donc trois tangentes à $\mathcal{C}_f$ passant par l’origine du repère.