Bac spécialité · session 2026 · Jour 2, centres en Asie

Bac 2026, spécialité maths, jour 2 (centres en Asie) : sujet et corrigé

Sujet de spécialité maths 2026 (jour 2) des centres en Asie : suite homographique, lancers-francs et loi binomiale, tétraèdre dans l’espace, vrai-faux.

Durée: 4 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

Format : 4 heures, quatre exercices indépendants de 5 points, calculatrice en mode examen autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements comptent dans la note.

Exercice 1 : une suite homographique (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]-\infty \,;\, \dfrac{3}{2}\right[$ par $f(x) = \dfrac{x - 2}{2x - 3}$ .

1. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous.

\begin{array}{c|ccc} x & -\infty & & \dfrac{3}{2} \\ \hline f & \dfrac{1}{2} & \nearrow & +\infty \end{array}

2. En déduire que pour tout $x \in [0 \,;\, 1]$ , on a : $f(x) \in [0 \,;\, 1]$ .

Corrigé de la partie A

1. Variations. $f$ est un quotient de fonctions dérivables, dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\left]-\infty \,;\, \dfrac{3}{2}\right[$ . Avec $u(x) = x - 2$ et $v(x) = 2x - 3$ , $u' = 1$ et $v' = 2$ :

f'(x) = \dfrac{1 \times (2x - 3) - (x - 2) \times 2}{(2x - 3)^2} = \dfrac{2x - 3 - 2x + 4}{(2x - 3)^2} = \dfrac{1}{(2x - 3)^2}

Le numérateur vaut $1$ et le dénominateur est un carré non nul : $f'(x) > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty \,;\, \dfrac{3}{2}\right[$ .

Limite en $-\infty$ . Pour $x \neq 0$ , on factorise par $x$ : $f(x) = \dfrac{1 - \frac{2}{x}}{2 - \frac{3}{x}}$ . Quand $x \to -\infty$ , $\dfrac{2}{x} \to 0$ et $\dfrac{3}{x} \to 0$ , donc $f(x) \to \dfrac{1}{2}$ .

Limite en $\dfrac{3}{2}$ (à gauche). Le numérateur tend vers $\dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{1}{2}$ . Le dénominateur $2x - 3$ tend vers $0$ en restant strictement négatif (car $x < \dfrac{3}{2}$ ). Le quotient d’un nombre négatif par un nombre négatif qui tend vers $0$ tend vers $+\infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to \frac{3}{2}^-} f(x) = +\infty$ .

2. $f(0) = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{2}{3}$ et $f(1) = \dfrac{-1}{-1} = 1$ . Comme $f$ est croissante sur $[0 \,;\, 1]$ (inclus dans son ensemble de définition), pour $0 \leq x \leq 1$ :

\dfrac{2}{3} = f(0) \leq f(x) \leq f(1) = 1

Donc $f(x) \in \left[\dfrac{2}{3} \,;\, 1\right] \subset [0 \,;\, 1]$ .

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par :

\left\{\begin{array}{l} u_0 = 0 \\[4pt] u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n - 3} \text{, pour tout entier naturel } n \end{array}\right.

1. En utilisant la fonction $f$ , démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1$ .

2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

3. On note $l$ la limite de la suite $(u_n)$ . En admettant que $l$ est solution de l’équation $f(x) = x$ sur l’intervalle $[0 \,;\, 1]$ , montrer que $l = 1$ .

4. On donne ci-dessous une fonction seuil écrite en langage Python.

def seuil(h):
    n=0
    u=0
    while u<1-h:
        n=n+1
        u=(u-2)/(2*u-3)
    return n

L’appel seuil(0.0001) renvoie la valeur $5\,000$ . Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

5. a. Donner les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ sous forme de fractions irréductibles.

b. Conjecturer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture.

Corrigé de la partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ , on remarque que $u_{n+1} = f(u_n)$ . Soit $P(n)$ : « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1$ ».

Initialisation. $u_0 = 0$ et $u_1 = f(0) = \dfrac{2}{3}$ : on a bien $0 \leq 0 \leq \dfrac{2}{3} \leq 1$ .

Hérédité. Supposons $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1$ pour un entier $n$ . La fonction $f$ est croissante sur $[0 \,;\, 1]$ : elle conserve l’ordre, donc

f(0) \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1}) \leq f(1), \quad\text{soit}\quad \dfrac{2}{3} \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 1

et a fortiori $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 1$ : $P(n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1$ pour tout entier naturel $n$ .

2. D’après la question 1, la suite $(u_n)$ est croissante ( $u_n \leq u_{n+1}$ ) et majorée par $1$ . Une suite croissante et majorée converge : $(u_n)$ converge.

3. Pour $x \in [0 \,;\, 1]$ , $2x - 3 \neq 0$ et :

f(x) = x \iff x - 2 = x(2x - 3) \iff 2x^2 - 4x + 2 = 0 \iff 2(x - 1)^2 = 0 \iff x = 1

L’unique solution dans $[0 \,;\, 1]$ est $1$ : donc $l = 1$ .

4. La boucle calcule les termes $u_1$ , $u_2$ , … tant que $u_n < 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999$ , et renvoie le premier rang pour lequel ce n’est plus le cas. Comme la suite est croissante, cela signifie que $u_n \geq 0{,}9999$ à partir du rang $5\,000$ , alors que $u_n < 0{,}9999$ pour $n \leq 4\,999$ . Autrement dit, $5\,000$ est le premier rang à partir duquel $u_n$ est à moins de $10^{-4}$ de sa limite $1$ .

5. a. $u_0 = 0$ (soit $\dfrac{0}{1}$ ), $u_1 = \dfrac{2}{3}$ , puis :

u_2 = \dfrac{\frac{2}{3} - 2}{\frac{4}{3} - 3} = \dfrac{-\frac{4}{3}}{-\frac{5}{3}} = \dfrac{4}{5}, \qquad u_3 = \dfrac{\frac{4}{5} - 2}{\frac{8}{5} - 3} = \dfrac{-\frac{6}{5}}{-\frac{7}{5}} = \dfrac{6}{7}

b. Conjecture. Les numérateurs sont $0$ , $2$ , $4$ , $6$ (soit $2n$ ), et chaque dénominateur vaut le numérateur plus $1$ : on conjecture $u_n = \dfrac{2n}{2n + 1}$ .

Démonstration par récurrence. Soit $Q(n)$ : « $u_n = \dfrac{2n}{2n + 1}$ ».
Initialisation : $\dfrac{2 \times 0}{2 \times 0 + 1} = 0 = u_0$ .
Hérédité : supposons $u_n = \dfrac{2n}{2n + 1}$ . En multipliant le numérateur et le dénominateur de $u_{n+1}$ par $2n + 1$ :

u_{n+1} = \dfrac{\frac{2n}{2n+1} - 2}{\frac{4n}{2n+1} - 3} = \dfrac{2n - 2(2n + 1)}{4n - 3(2n + 1)} = \dfrac{-2n - 2}{-2n - 3} = \dfrac{2(n + 1)}{2(n + 1) + 1}

C’est $Q(n + 1)$ . Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $u_n = \dfrac{2n}{2n + 1}$ .

Vérification avec la question 4. $1 - u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$ , et $\dfrac{1}{2n + 1} \leq 10^{-4} \iff 2n + 1 \geq 10\,000 \iff n \geq 4\,999{,}5$ : le premier rang est bien $5\,000$ .

Exercice 2 : lancers-francs au basket (5 points)

On pourra traiter indépendamment les deux parties de l’exercice. On arrondira, si nécessaire, les résultats à $10^{-3}$ près.

Dans cet exercice, on s’intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s’effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Partie A

Les statistiques de réussite des lancers-francs d’un joueur sont de $49{,}2\,\%$ lors d’une saison. Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d’un lancer-franc.

Au cours d’un match, ce joueur tente $16$ lancers-francs. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et l’interpréter dans le contexte de cet exercice.

3. Calculer $P(X = 5)$ .

4. Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Corrigé de la partie A

1. Chaque lancer-franc est une épreuve de Bernoulli : succès « le lancer est réussi », de probabilité $p = 0{,}492$ . Le joueur répète $16$ fois cette épreuve, dans des conditions identiques et de façon indépendante. $X$ compte le nombre de succès : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(16 \,;\, 0{,}492)$ .

2. $E(X) = np = 16 \times 0{,}492 = 7{,}872$ . Sur un grand nombre de matchs où il tenterait $16$ lancers-francs, ce joueur en réussirait en moyenne environ $7{,}9$ par match.

P(X = 5) = \dbinom{16}{5} \times 0{,}492^5 \times 0{,}508^{11} = 4\,368 \times 0{,}492^5 \times 0{,}508^{11} \approx 0{,}073

4. On passe par l’événement contraire :

P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5) \approx 1 - 0{,}117 \approx 0{,}883

( $P(X \leq 5) \approx 0{,}1173$ à la calculatrice, avec la fonction de répartition de la loi binomiale.)

Partie B

On note $p$ la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où $p$ est un réel tel que $0 \leq p \leq 1$ . On se place dans le cas où le joueur effectue $3$ lancers-francs. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ .

2. Exprimer $P(Y = 2)$ en fonction de $p$ .

3. Donner la loi de probabilité de $Y$ . Présenter la réponse sous forme de tableau.

4. Montrer que $P(Y \geq 2) = -2p^3 + 3p^2$ .

5. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 \,;\, 1]$ par $f(x) = -2x^3 + 3x^2$ .

a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 \,;\, 1]$ et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l’intervalle $[0 \,;\, 1]$ .

b. En déduire l’existence d’une unique valeur $\alpha$ dans l’intervalle $[0 \,;\, 1]$ telle que $f(\alpha) = 0{,}9$ .

c. Donner un encadrement d’amplitude $10^{-2}$ de cette valeur $\alpha$ .

d. Interpréter la valeur de $\alpha$ dans le contexte de l’exercice.

Corrigé de la partie B

1. Sur $3$ lancers, le joueur peut en réussir $0$ , $1$ , $2$ ou $3$ : $Y$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ .

2. Pour les mêmes raisons qu’en partie A, $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3 \,;\, p)$ . Deux réussites et un échec, l’échec pouvant être au 1er, 2e ou 3e lancer ( $\binom{3}{2} = 3$ possibilités) :

P(Y = 2) = 3p^2(1 - p)

3. De même, $P(Y = k) = \dbinom{3}{k}p^k(1 - p)^{3 - k}$ :

\begin{array}{c|cccc} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P(Y = k) & (1 - p)^3 & 3p(1 - p)^2 & 3p^2(1 - p) & p^3 \end{array}

4. $P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) = 3p^2(1 - p) + p^3 = 3p^2 - 3p^3 + p^3 = -2p^3 + 3p^2$ .

5. a. $f'(x) = -6x^2 + 6x = 6x(1 - x)$ . Sur $[0 \,;\, 1]$ , $6x \geq 0$ et $1 - x \geq 0$ : $f'(x) \geq 0$ , et $f'$ ne s’annule qu’en $0$ et en $1$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $[0 \,;\, 1]$ , avec $f(0) = 0$ et $f(1) = -2 + 3 = 1$ .

\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & & & 1 \\ \hline f'(x) & 0 & & + & & 0 \\ \hline f & 0 & & \nearrow & & 1 \end{array}

b. $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur $[0 \,;\, 1]$ , et $0{,}9 \in [f(0) \,;\, f(1)] = [0 \,;\, 1]$ . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 0{,}9$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0 \,;\, 1]$ .

c. À la calculatrice : $f(0{,}80) = 0{,}896 < 0{,}9$ et $f(0{,}81) \approx 0{,}905 > 0{,}9$ . Donc $0{,}80 < \alpha < 0{,}81$ .

d. $f(p) = P(Y \geq 2)$ et $f$ est croissante : $P(Y \geq 2) \geq 0{,}9 \iff p \geq \alpha$ . Le nombre $\alpha \approx 0{,}80$ est la probabilité de réussite minimale qu’il faut au joueur pour avoir au moins $90\,\%$ de chances de réussir au moins deux lancers-francs sur trois.

Exercice 3 : un tétraèdre (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\left(O \,;\, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\right)$ , on considère les points $A(1 \,;\, 2 \,;\, 3)$ , $B(-1 \,;\, 3 \,;\, 1)$ , $C(2 \,;\, 1 \,;\, 6)$ et $D(3 \,;\, -2 \,;\, -1)$ .

1. a. Montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan.

b. Montrer que le vecteur $\vec{n}\,(1 \,;\, 4 \,;\, 1)$ est normal au plan $(ABC)$ .

c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .

2. a. Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$ , perpendiculaire au plan $(ABC)$ et passant par le point $D$ .

b. Déterminer les coordonnées du point $H$ qui est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$ .

c. En déduire que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{2}$ .

3. a. Montrer que $\cos\left(\widehat{BAC}\right) = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$ .

b. En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\widehat{BAC}\right)$ .

c. Montrer que l’aire du triangle $ABC$ vaut $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ .

4. Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$ . On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre est donné par la formule suivante : $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ , où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur qui lui est associée.

Corrigé de l’exercice 3

1. a. $\overrightarrow{AB}\,(-2 \,;\, 1 \,;\, -2)$ et $\overrightarrow{AC}\,(1 \,;\, -1 \,;\, 3)$ . Si l’on avait $\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB}$ , la première coordonnée donnerait $\lambda = -\dfrac{1}{2}$ et la deuxième $\lambda = -1$ : c’est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

b. $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -2 + 4 - 2 = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 - 4 + 3 = 0$ . Le vecteur $\vec{n}$ , non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ : il est normal à ce plan.

c. Le plan $(ABC)$ a une équation de la forme $x + 4y + z + d = 0$ . Il contient $A$ : $1 + 8 + 3 + d = 0$ , donc $d = -12$ . Une équation cartésienne de $(ABC)$ est $x + 4y + z - 12 = 0$ .

(Vérification : $B$ donne $-1 + 12 + 1 - 12 = 0$ et $C$ donne $2 + 4 + 6 - 12 = 0$ .)

2. a. La droite $(d)$ est orthogonale au plan : $\vec{n}$ en est un vecteur directeur. Elle passe par $D$ : une représentation paramétrique de $(d)$ est

\left\{\begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = -2 + 4t \\ z = -1 + t \end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}

b. $H$ est l’intersection de $(d)$ et du plan $(ABC)$ . On remplace dans l’équation du plan :

(3 + t) + 4(-2 + 4t) + (-1 + t) - 12 = 18t - 18 = 0 \iff t = 1

D’où $H(4 \,;\, 2 \,;\, 0)$ .

c. La distance de $D$ au plan $(ABC)$ est la distance $DH$ . $\overrightarrow{DH}\,(1 \,;\, 4 \,;\, 1)$ , donc $DH = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .

3. a. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2 - 1 - 6 = -9$ , $AB = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ et $AC = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$ . Comme $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$ :

\cos\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{-9}{3\sqrt{11}} = -\dfrac{3}{\sqrt{11}} = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}

b. $\sin^2\left(\widehat{BAC}\right) = 1 - \cos^2\left(\widehat{BAC}\right) = 1 - \dfrac{9}{11} = \dfrac{2}{11}$ . Un angle géométrique est compris entre $0$ et $\pi$ , donc son sinus est positif :

\sin\left(\widehat{BAC}\right) = \sqrt{\dfrac{2}{11}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \dfrac{\sqrt{22}}{11}

c. La hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$ vaut $AC \times \sin\left(\widehat{BAC}\right)$ , d’où :

\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin\left(\widehat{BAC}\right) = \dfrac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{11} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}

4. On prend pour base le triangle $ABC$ : la hauteur associée est la distance de $D$ au plan $(ABC)$ , soit $DH = 3\sqrt{2}$ .

\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \times 3\sqrt{2} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{9 \times 2}{2} = 3

Le volume du tétraèdre $ABCD$ est égal à $3$ (unités de volume).

Exercice 4 : vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans l’évaluation. Les quatre questions sont indépendantes.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^5$ .
Affirmation 1 : la fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ .

2. Une urne contient $32$ jetons numérotés de $1$ à $32$ indiscernables au toucher. On tire simultanément $5$ jetons de cette urne. On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des cinq jetons tirés.
Affirmation 2 : le nombre de tirages possibles contenant au moins un multiple de $8$ est égal à $103\,096$ .

3. On considère l’arbre de probabilités ci-dessous.

Arbre pondéré : de la racine partent les branches A, avec la probabilité 2/5, et A barre. De A partent B, avec la probabilité 1/4, et B barre. De A barre partent B et B barre, avec la probabilité 7/10 sur la branche B barre

Affirmation 3 : $P_B\left(\overline{A}\right) = \dfrac{9}{50}$ .

4. On considère l’équation différentielle $(E) : y' + y = \mathrm{e}^{-x}\cos(x)$ , où $y$ est une fonction de la variable $x$ , dérivable sur $\mathbb{R}$ .
Affirmation 4 : la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin(x)$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ .
Affirmation 5 : les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = C\mathrm{e}^{-x}\sin(x)$ où $C$ est une constante réelle.

Corrigé de l’exercice 4

Affirmation 1 : fausse. On pose $u(x) = -\dfrac{1}{2}x + 3$ , avec $u' = -\dfrac{1}{2}$ . Alors $f = u^5$ et :

f'(x) = 5u'(x)u(x)^4 = -\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^4, \qquad f''(x) = -\dfrac{5}{2} \times 4 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^3 = 5\left(-\dfrac{1}{2}x + 3\right)^3

$f''(x)$ a le signe de $-\dfrac{1}{2}x + 3$ , qui est négatif pour $x > 6$ . Par exemple, $f''(8) = 5 \times (-1)^3 = -5 < 0$ : $f$ est concave sur $[6 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , donc elle n’est pas convexe sur $\mathbb{R}$ (elle est seulement convexe sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 6]$ ).

Affirmation 2 : vraie. Il y a $\dbinom{32}{5} = 201\,376$ tirages en tout. Les multiples de $8$ entre $1$ et $32$ sont $8$ , $16$ , $24$ et $32$ : il y en a $4$ . Les tirages sans aucun multiple de $8$ se font parmi les $28$ autres jetons : $\dbinom{28}{5} = 98\,280$ . Par passage au contraire :

\dbinom{32}{5} - \dbinom{28}{5} = 201\,376 - 98\,280 = 103\,096

Affirmation 3 : fausse. D’après l’arbre, $P(A) = \dfrac{2}{5}$ , $P\left(\overline{A}\right) = \dfrac{3}{5}$ , $P_A(B) = \dfrac{1}{4}$ et $P_{\overline{A}}(B) = 1 - \dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}$ . Donc :

P\left(\overline{A} \cap B\right) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{50}, \qquad P(A \cap B) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{50}

Par la formule des probabilités totales, $P(B) = \dfrac{5}{50} + \dfrac{9}{50} = \dfrac{14}{50}$ , puis

P_B\left(\overline{A}\right) = \dfrac{P\left(\overline{A} \cap B\right)}{P(B)} = \dfrac{9/50}{14/50} = \dfrac{9}{14} \neq \dfrac{9}{50}

Le nombre $\dfrac{9}{50}$ est $P\left(\overline{A} \cap B\right)$ , pas la probabilité conditionnelle.

Affirmation 4 : vraie. $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x)$ . Donc :

h'(x) + h(x) = -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x) + \mathrm{e}^{-x}\sin(x) = \mathrm{e}^{-x}\cos(x)

Affirmation 5 : fausse. Pour $k(x) = C\mathrm{e}^{-x}\sin(x) = C\,h(x)$ , on a $k'(x) + k(x) = C\left(h'(x) + h(x)\right) = C\mathrm{e}^{-x}\cos(x)$ , qui n’est égal à $\mathrm{e}^{-x}\cos(x)$ pour tout $x$ que si $C = 1$ . Par exemple, la fonction nulle ( $C = 0$ ) n’est pas solution.

Les vraies solutions s’obtiennent en ajoutant à la solution particulière $h$ les solutions de $y' + y = 0$ , c’est-à-dire les fonctions $x \mapsto K\mathrm{e}^{-x}$ : ce sont les fonctions $x \mapsto K\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}\sin(x)$ , avec $K \in \mathbb{R}$ .

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26-MATJ2JA1 · session 2026

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