Bac spécialité · session 2026 · Jour 1, centres étrangers (groupe 1)

Bac 2026, spécialité maths, jour 1 (centres étrangers) : sujet et corrigé

Sujet de spécialité maths 2026, jour 1, centres étrangers (groupe 1) : probabilités et loi binomiale, vrai-faux, cube et plan, étude de ln(x)/x² et intégrales.

Durée: 4 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

Format : 4 heures, quatre exercices, calculatrice en mode examen autorisée. La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements comptent dans la note.

Exercice 1 : lames d’escrime (5 points)

La fédération internationale d’escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité. Pour tester la conformité de l’acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu’à la rupture. La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.

Un équipementier d’escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames. Son stock est composé de $60\,\%$ de lames du fournisseur $A$ , de $12\,\%$ de lames du fournisseur $B$ , le reste venant du fournisseur $C$ . Une étude qualité a montré que $90\,\%$ des lames du fournisseur $A$ , $95\,\%$ des lames du fournisseur $B$ et $85\,\%$ des lames du fournisseur $C$ étaient conformes.

Partie A

Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l’équipementier. On considère les événements $A$ , $B$ , $C$ : « la lame testée provient du fournisseur $A$ » (respectivement $B$ , $C$ ) et $T$ : « la lame testée est conforme ». On note $\overline{T}$ l’événement contraire de $T$ .

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.

Arbre à compléter : trois branches A, B, C, puis pour chacune deux branches T et T barre, toutes les probabilités à compléter

2. Déterminer $P(A \cap \overline{T})$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de $0{,}892$ .

4. Sachant que la lame testée n’est pas conforme, déterminer la probabilité qu’elle provienne du fournisseur $B$ . On donnera la valeur arrondie au millième.

Corrigé de la partie A

1. $P(C) = 1 - 0{,}6 - 0{,}12 = 0{,}28$ . Premier niveau : $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}12$ , $P(C) = 0{,}28$ . Second niveau : $P_A(T) = 0{,}9$ et $P_A(\overline{T}) = 0{,}1$ ; $P_B(T) = 0{,}95$ et $P_B(\overline{T}) = 0{,}05$ ; $P_C(T) = 0{,}85$ et $P_C(\overline{T}) = 0{,}15$ .

P(A \cap \overline{T}) = P(A) \times P_A(\overline{T}) = 0{,}6 \times 0{,}1 = 0{,}06

La probabilité que la lame testée provienne du fournisseur $A$ et ne soit pas conforme est $0{,}06$ : $6\,\%$ des lames du stock sont des lames de $A$ non conformes.

3. $A$ , $B$ et $C$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

P(T) = 0{,}6 \times 0{,}9 + 0{,}12 \times 0{,}95 + 0{,}28 \times 0{,}85 = 0{,}54 + 0{,}114 + 0{,}238 = 0{,}892

4. $P(\overline{T}) = 1 - 0{,}892 = 0{,}108$ et $P(B \cap \overline{T}) = 0{,}12 \times 0{,}05 = 0{,}006$ .

P_{\overline{T}}(B) = \dfrac{P(B \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}006}{0{,}108} \approx 0{,}056

Partie B

D’après la partie A, la probabilité qu’une lame de l’équipementier ne soit pas conforme est égale à $0{,}108$ . Lors d’une compétition d’escrime, l’équipementier apporte un échantillon de $75$ lames provenant de son stock. On considère qu’il les a choisies au hasard et de manière indépendante. De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que $6$ lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On arrondira le résultat au millième.

3. L’équipementier affirme que la probabilité qu’il y ait strictement plus de $8$ lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à $50\,\%$ . A-t-il raison ?

Corrigé de la partie B

1. On répète $75$ fois, de façon identique et indépendante, l’épreuve « la lame est-elle non conforme ? », de probabilité de succès $0{,}108$ : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(75 \,;\, 0{,}108)$ .

P(X = 6) = \dbinom{75}{6} \times 0{,}108^6 \times 0{,}892^{69} \approx 0{,}120

3. À la calculatrice, $P(X \leq 8) \approx 0{,}578$ , donc :

P(X > 8) = 1 - P(X \leq 8) \approx 0{,}422

$0{,}422 < 0{,}5$ : l’équipementier a raison.

Partie C

Soit $n$ un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l’équipementier est présent. Il apporte à chaque fois un échantillon de $75$ lames. Les variables aléatoires $X_1, \ldots, X_n$ , que l’on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon le nombre de lames non conformes. On pose :

M_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}

1. Déterminer l’espérance $E(M_n)$ et la variance $V(M_n)$ de la variable aléatoire $M_n$ .

2. Justifier l’inégalité suivante, pour tout entier naturel $n$ non nul :

P(|M_n - 8{,}1| \geq 2) \leq \dfrac{1{,}8063}{n}

3. Déterminer une valeur de l’entier $n$ à partir de laquelle $P(|M_n - 8{,}1| < 2) \geq 0{,}95$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Corrigé de la partie C

1. Chaque $X_i$ suit la loi $\mathcal{B}(75 \,;\, 0{,}108)$ :

E(X_i) = 75 \times 0{,}108 = 8{,}1 \qquad V(X_i) = 75 \times 0{,}108 \times 0{,}892 = 7{,}2252

Par linéarité, $E(M_n) = 8{,}1$ . Les $X_i$ étant indépendantes :

V(M_n) = \dfrac{1}{n^2} \times n \times 7{,}2252 = \dfrac{7{,}2252}{n}

2. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev (ou l’inégalité de concentration) avec $\delta = 2$ :

P(|M_n - 8{,}1| \geq 2) \leq \dfrac{V(M_n)}{2^2} = \dfrac{7{,}2252}{4n} = \dfrac{1{,}8063}{n}

3. En passant à l’événement contraire : $P(|M_n - 8{,}1| < 2) \geq 1 - \dfrac{1{,}8063}{n}$ . Il suffit donc que :

1 - \dfrac{1{,}8063}{n} \geq 0{,}95 \iff \dfrac{1{,}8063}{n} \leq 0{,}05 \iff n \geq 36{,}126

À partir de $n = 37$ compétitions, la probabilité que le nombre moyen de lames non conformes par échantillon soit strictement compris entre $6{,}1$ et $10{,}1$ est au moins égale à $0{,}95$ .

Exercice 2 : vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les questions sont indépendantes les unes des autres.

1. On considère l’équation différentielle $(E) : y' + y = 2\cos(x)$ , où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
Affirmation 1 : la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4\mathrm{e}^{-x} + \cos(x) + \sin(x)$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ .

2. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x$ et $g(x) = \sin(x)$ , de courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
Affirmation 2 : les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ont un seul point d’intersection.

3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{2n + \sin(n)}{n + 1}$ .
Affirmation 3 : la suite $(v_n)$ diverge.

4. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1 = 1$ et, pour tout entier naturel $n \geq 1$ , $u_{n+1} = u_n + 2n + 1$ .
Affirmation 4 : pour tout entier naturel $n \geq 1$ , on a $u_n = n^2$ .

5. On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $u_n = \mathrm{e}^{-n}$ . On pose $S_n = u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_n$ .
Affirmation 5 : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n = \dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}$ .

Corrigé de l’exercice 2

1. Vraie. $f'(x) = -4\mathrm{e}^{-x} - \sin(x) + \cos(x)$ , donc :

f'(x) + f(x) = -4\mathrm{e}^{-x} - \sin(x) + \cos(x) + 4\mathrm{e}^{-x} + \cos(x) + \sin(x) = 2\cos(x)

2. Vraie. On étudie $h(x) = 2x - \sin(x)$ sur $\mathbb{R}$ . $h'(x) = 2 - \cos(x) \geq 1 > 0$ : $h$ est strictement croissante, donc s’annule au plus une fois. Or $h(0) = 0$ : les courbes se coupent en un seul point, l’origine.

3. Fausse. Pour tout $n$ , $-1 \leq \sin(n) \leq 1$ , donc :

\dfrac{2n - 1}{n + 1} \leq v_n \leq \dfrac{2n + 1}{n + 1}

Les deux suites qui encadrent tendent vers $2$ (on factorise par $n$ ). D’après le théorème des gendarmes, $(v_n)$ converge vers $2$ : elle ne diverge pas.

4. Vraie. On raisonne par récurrence sur $n \geq 1$ .
Initialisation : $u_1 = 1 = 1^2$ .
Hérédité : si $u_n = n^2$ pour un entier $n \geq 1$ , alors $u_{n+1} = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$ .
Conclusion : pour tout $n \geq 1$ , $u_n = n^2$ .

5. Vraie. $u_n = \left(\mathrm{e}^{-1}\right)^n$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $q = \mathrm{e}^{-1}$ , avec $0 < q < 1$ , et $u_0 = 1$ .

S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \dfrac{1}{1 - \mathrm{e}^{-1}} = \dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e} - 1}

car $q^{n+1}$ tend vers $0$ .

Exercice 3 : cube et plan (4 points)

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous. On munit l’espace du repère orthonormal $\left(A \,;\, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$ . Soit $I$ le milieu du segment $[EF]$ , $J$ le milieu de $[EH]$ et $K$ le milieu de $[AE]$ .

Cube ABCDEFGH, avec I milieu de [EF], J milieu de [EH] et K milieu de [AE] ; les arêtes issues de D sont en pointillés

1. Donner les coordonnées des points $I$ , $J$ et $K$ .

2. a. Déterminer la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ}$ .

b. En déduire la mesure de l’angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième de degré.

3. a. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{KC}$ est un vecteur normal au plan $(AIJ)$ .

b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(AIJ)$ est $x + y - \dfrac{1}{2}z = 0$ .

4. Soit $L$ le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(AIJ)$ .

a. Déterminer les coordonnées du point $L$ .

b. En déduire que la distance du point $C$ au plan $(AIJ)$ est égale à $\dfrac{4}{3}$ .

5. Soit $M$ un point de la droite $(FG)$ . On admet que les coordonnées de $M$ sont $(1 \,;\, m \,;\, 1)$ avec $m \in \mathbb{R}$ .

a. Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $(IM)$ est :

\left\{\begin{array}{l} x = \dfrac{1}{2}s + \dfrac{1}{2} \\ y = ms \\ z = 1 \end{array}\right. \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}

b. Peut-on affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ?

Corrigé de l’exercice 3

Dans ce repère : $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$ , $B(1 \,;\, 0 \,;\, 0)$ , $C(1 \,;\, 1 \,;\, 0)$ , $D(0 \,;\, 1 \,;\, 0)$ , $E(0 \,;\, 0 \,;\, 1)$ , $F(1 \,;\, 0 \,;\, 1)$ , $H(0 \,;\, 1 \,;\, 1)$ .

1. $I\left(\dfrac{1}{2} \,;\, 0 \,;\, 1\right)$ , $J\left(0 \,;\, \dfrac{1}{2} \,;\, 1\right)$ , $K\left(0 \,;\, 0 \,;\, \dfrac{1}{2}\right)$ .

2. a. $\overrightarrow{AI}\left(\dfrac{1}{2} \,;\, 0 \,;\, 1\right)$ et $\overrightarrow{AJ}\left(0 \,;\, \dfrac{1}{2} \,;\, 1\right)$ , donc $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ} = 0 + 0 + 1 = 1$ .

b. $AI = AJ = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 1} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ . Donc :

\cos \widehat{IAJ} = \dfrac{\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AJ}}{AI \times AJ} = \dfrac{1}{\frac{5}{4}} = \dfrac{4}{5} \qquad \widehat{IAJ} \approx 36{,}9°

3. a. $\overrightarrow{KC}\left(1 \,;\, 1 \,;\, -\dfrac{1}{2}\right)$ . On calcule :

\overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2} + 0 - \dfrac{1}{2} = 0 \qquad \overrightarrow{KC} \cdot \overrightarrow{AJ} = 0 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0

$\overrightarrow{KC}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AIJ)$ : c’est un vecteur normal à ce plan.

b. Le plan $(AIJ)$ a donc une équation de la forme $x + y - \dfrac{1}{2}z + d = 0$ . Il passe par $A(0 \,;\, 0 \,;\, 0)$ , donc $d = 0$ : $(AIJ) : x + y - \dfrac{1}{2}z = 0$ .

4. a. $L$ est sur la droite passant par $C$ et dirigée par $\overrightarrow{KC}$ , normal au plan : $L(1 + t \,;\, 1 + t \,;\, -\tfrac{1}{2}t)$ pour un réel $t$ . Comme $L$ est dans le plan :

(1 + t) + (1 + t) + \dfrac{1}{4}t = 0 \iff \dfrac{9}{4}t = -2 \iff t = -\dfrac{8}{9}

$L\left(\dfrac{1}{9} \,;\, \dfrac{1}{9} \,;\, \dfrac{4}{9}\right)$ .

b. La distance de $C$ au plan est $CL$ . $\overrightarrow{CL} = -\dfrac{8}{9}\overrightarrow{KC}$ et $KC = \sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{3}{2}$ , donc :

CL = \dfrac{8}{9} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{3}

5. a. $\overrightarrow{IM}\left(\dfrac{1}{2} \,;\, m \,;\, 0\right)$ . La droite $(IM)$ passe par $I\left(\dfrac{1}{2} \,;\, 0 \,;\, 1\right)$ et est dirigée par $\overrightarrow{IM}$ : on obtient exactement la représentation proposée.

b. Non. Deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.

Elles ne sont jamais parallèles : $\overrightarrow{IM}$ a une troisième coordonnée nulle, pas $\overrightarrow{KC}$ .
$(KC)$ a pour représentation $x = k$ , $y = k$ , $z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}k$ ( $k \in \mathbb{R}$ ). Un point commun vérifie $z = 1$ , d’où $k = -1$ , puis $x = y = -1$ . Sur $(IM)$ , $x = -1$ donne $s = -3$ , et $y = -3m = -1$ impose $m = \dfrac{1}{3}$ .

Les droites ne sont coplanaires que pour $m = \dfrac{1}{3}$ . Par exemple pour $m = 0$ , elles ne le sont pas.

Exercice 4 : étude de ln(x)/x² (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ ; on note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A

1. a. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l’intervalle $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ .

b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Pour tout réel strictement positif $x$ , démontrer que $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$ .

3. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction.

4. Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ , tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d’abscisse $1$ .

5. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$ , on a $f''(x) = \dfrac{-5 + 6\ln(x)}{x^4}$ .

6. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d’inflexion.

b. En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0 \,;\, \mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right]$ , on a $x - 1 \geq \dfrac{\ln(x)}{x^2}$ .

7. Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\left[\mathrm{e}^{\frac{5}{6}} \,;\, +\infty\right[$ , on a aussi $x - 1 \geq \dfrac{\ln(x)}{x^2}$ .

Corrigé de la partie A

1. a. En $0$ : $\ln(x) \to -\infty$ et $\dfrac{1}{x^2} \to +\infty$ , donc par produit $f(x) \to -\infty$ .
En $+\infty$ : $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}$ . Par croissance comparée $\dfrac{\ln(x)}{x} \to 0$ , et $\dfrac{1}{x} \to 0$ , donc $f(x) \to 0$ .

b. L’axe des ordonnées (droite $x = 0$ ) est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ ; l’axe des abscisses (droite $y = 0$ ) est asymptote horizontale en $+\infty$ .

2. Avec $u = \ln(x)$ et $v = x^2$ :

f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x^2 - \ln(x) \times 2x}{x^4} = \dfrac{x(1 - 2\ln(x))}{x^4} = \dfrac{1 - 2\ln(x)}{x^3}

3. $x^3 > 0$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , donc $f'(x)$ a le signe de $1 - 2\ln(x)$ , positif pour $\ln(x) < \dfrac{1}{2}$ , c’est-à-dire $x < \sqrt{\mathrm{e}}$ . Maximum : $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) = \dfrac{\frac{1}{2}}{\mathrm{e}} = \dfrac{1}{2\mathrm{e}}$ .

\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & \sqrt{\mathrm{e}} & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f & -\infty & \nearrow & \dfrac{1}{2\mathrm{e}} & \searrow & 0 \end{array}

4. $f(1) = 0$ et $f'(1) = 1$ , donc $\Delta : y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ , soit $y = x - 1$ .

5. On dérive $f'(x) = (1 - 2\ln(x)) \times x^{-3}$ :

f''(x) = -\dfrac{2}{x} \times \dfrac{1}{x^3} + (1 - 2\ln(x)) \times \dfrac{-3}{x^4} = \dfrac{-2 - 3 + 6\ln(x)}{x^4} = \dfrac{-5 + 6\ln(x)}{x^4}

6. a. $f''(x)$ a le signe de $-5 + 6\ln(x)$ , positif si et seulement si $x \geq \mathrm{e}^{\frac{5}{6}}$ . $f$ est concave sur $\left]0 \,;\, \mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right]$ et convexe sur $\left[\mathrm{e}^{\frac{5}{6}} \,;\, +\infty\right[$ . $f''$ s’annule en changeant de signe : la courbe a un point d’inflexion d’abscisse $\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}$ , d’ordonnée $f\left(\mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right) = \dfrac{\frac{5}{6}}{\mathrm{e}^{\frac{5}{3}}} = \dfrac{5}{6\mathrm{e}^{\frac{5}{3}}}$ .

b. Sur $\left]0 \,;\, \mathrm{e}^{\frac{5}{6}}\right]$ , $f$ est concave : sa courbe est en dessous de ses tangentes, en particulier de la tangente $\Delta$ en $1$ (et $1$ appartient bien à cet intervalle). Donc $f(x) \leq x - 1$ .

7. Pour $x \geq \mathrm{e}^{\frac{5}{6}}$ : comme $\dfrac{5}{6} > \ln 2$ , on a $\mathrm{e}^{\frac{5}{6}} > 2$ , donc $x - 1 > 1$ . D’autre part, d’après la question 3, $f(x) \leq \dfrac{1}{2\mathrm{e}} < 1$ . Ainsi $x - 1 > 1 > f(x)$ .

Partie B

On considère la suite $(I_n)$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$ , par $I_n = \displaystyle\int_1^n \dfrac{\ln(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x$ .

1. Donner une interprétation graphique de $I_n$ pour $n$ un entier naturel non nul.

2. Démontrer que la suite $(I_n)$ est croissante.

3. On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,\mathrm{d}x$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous. Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage Python. Recopier et compléter ce script afin qu’il réponde au problème posé.

Courbe de f sur [0 ; 11] et neuf rectangles de largeur 1 entre x = 1 et x = 10 : le premier a pour hauteur le maximum de f, les suivants la valeur de f à leur bord gauche

from math import *

S=1/(2*exp(1))
for i in range (2,10):
    S = ...
print(S)

4. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ , $I_n = \dfrac{n - 1 - \ln(n)}{n}$ .

5. Calculer la limite de la suite $(I_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Corrigé de la partie B

1. Pour $x \geq 1$ , $\ln(x) \geq 0$ , donc $f(x) \geq 0$ . $I_n$ est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 1$ et $x = n$ .

2. D’après la relation de Chasles :

I_{n+1} - I_n = \int_n^{n+1} f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0

car $f \geq 0$ sur $[n \,;\, n + 1]$ (avec $n \geq 1$ ). La suite $(I_n)$ est croissante.

3. Le premier rectangle, sur $[1 \,;\, 2]$ , a pour aire $1 \times \dfrac{1}{2\mathrm{e}}$ (valeur initiale de S). Les suivants, sur $[i \,;\, i + 1]$ pour $i$ de $2$ à $9$ , ont pour hauteur $f(i)$ et pour largeur $1$ . On complète par :

    S = S + log(i)/i**2

(en Python, log est le logarithme népérien). Le programme affiche environ $0{,}779$ .

4. On pose $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = \dfrac{1}{x^2}$ , d’où $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = -\dfrac{1}{x}$ , toutes continues sur $[1 \,;\, n]$ .

I_n = \left[-\dfrac{\ln(x)}{x}\right]_1^n - \int_1^n \dfrac{1}{x} \times \left(-\dfrac{1}{x}\right)\mathrm{d}x = -\dfrac{\ln(n)}{n} + \int_1^n \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x

I_n = -\dfrac{\ln(n)}{n} + \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^n = -\dfrac{\ln(n)}{n} - \dfrac{1}{n} + 1 = \dfrac{n - 1 - \ln(n)}{n}

5. $I_n = 1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{\ln(n)}{n}$ . Par croissance comparée, $\dfrac{\ln(n)}{n} \to 0$ , et $\dfrac{1}{n} \to 0$ : la suite $(I_n)$ converge vers $1$ .

Sujet officiel

26-MATJ1G11 · session 2026

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