Bac spécialité · session 2026 · Jour 1, Antilles-Guyane

Bac 2026, spécialité maths, jour 1 (Antilles-Guyane) : sujet et corrigé

Sujet de spécialité maths du 16 juin 2026 aux Antilles-Guyane : réacteurs et Bienaymé-Tchebychev, médicament (équation différentielle, suite), espace, x ln(2x − 1).

Durée: 4 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

Format : mardi 16 juin 2026, 4 heures, quatre exercices, calculatrice en mode examen autorisée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements comptent dans la note ; les traces de recherche, même incomplètes, sont valorisées.

Exercice 1 : contrôle des réacteurs nucléaires (4 points)

Partie A

L’agence de sûreté nucléaire ASNR contrôle les installations des centrales nucléaires afin de garantir leur sécurité et leur conformité. La fréquence des contrôles dépend de l’état du réacteur.

On considère que dans le parc nucléaire français :

$20\,\%$ des réacteurs sont en arrêt pour maintenance ;
$5\,\%$ des réacteurs fonctionnent au ralenti ;
le reste des réacteurs du parc nucléaire est en état de fonctionnement normal.

On considère également que parmi les réacteurs en arrêt, $85\,\%$ sont contrôlés et que parmi les réacteurs fonctionnant au ralenti, $60\,\%$ sont contrôlés.

On choisit au hasard un réacteur dans le parc nucléaire français, et on note :

$A$ l’événement « Le réacteur est en arrêt » ;
$R$ l’événement « Le réacteur fonctionne au ralenti » ;
$N$ l’événement « Le réacteur fonctionne normalement » ;
$C$ l’événement « Le réacteur subit un contrôle ».

Pour un événement quelconque $E$ , on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

On note $x$ la probabilité que le réacteur subisse un contrôle sachant qu’il fonctionne normalement, c’est-à-dire $x = P_N(C)$ .

Arbre pondéré : de la racine partent trois branches vers A, R et N, avec des pointillés ; de chacun de ces nœuds partent C et C barre. Toutes les probabilités sont en pointillés, sauf x sur la branche de N vers C

1. Recopier l’arbre des probabilités ci-dessus en complétant les pointillés à l’aide des données de l’énoncé.

2. Calculer la probabilité que le réacteur soit en arrêt et qu’il subisse un contrôle.

On sait de plus que la probabilité qu’un réacteur du parc nucléaire soit contrôlé est égale à $0{,}35$ .

3. Montrer que la probabilité $x$ est égale à $0{,}2$ .

4. Le réacteur choisi subit un contrôle. Déterminer la probabilité qu’il fonctionne normalement.

Corrigé de la partie A

1. Les trois états forment une partition : $P(A) = 0{,}2$ , $P(R) = 0{,}05$ et $P(N) = 1 - 0{,}2 - 0{,}05 = 0{,}75$ .

Branches issues de $A$ : $P_A(C) = 0{,}85$ et $P_A(\overline{C}) = 0{,}15$ .
Branches issues de $R$ : $P_R(C) = 0{,}6$ et $P_R(\overline{C}) = 0{,}4$ .
Branches issues de $N$ : $P_N(C) = x$ et $P_N(\overline{C}) = 1 - x$ .

2. $P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}2 \times 0{,}85 = 0{,}17$ .

3. $A$ , $R$ et $N$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

P(C) = P(A \cap C) + P(R \cap C) + P(N \cap C) = 0{,}17 + 0{,}05 \times 0{,}6 + 0{,}75x = 0{,}2 + 0{,}75x

Comme $P(C) = 0{,}35$ : $0{,}75x = 0{,}15$ , donc $x = \dfrac{0{,}15}{0{,}75} = 0{,}2$ .

4. On cherche $P_C(N)$ . On a $P(N \cap C) = 0{,}75 \times 0{,}2 = 0{,}15$ , donc :

P_C(N) = \dfrac{P(N \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0{,}15}{0{,}35} = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}43

Partie B

Dans le Sud de la France, on compte $12$ réacteurs nucléaires qu’on numérote de $1$ à $12$ .

On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à $16$ GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à $10$ GWh et enfin lorsque le réacteur est à l’arrêt, sa production journalière est nulle.

On rappelle que $P(N) = 0{,}75$ , $P(R) = 0{,}05$ et $P(A) = 0{,}20$ .

1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d’un réacteur.

1. a. Recopier le tableau ci-dessous et compléter les pointillés donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ . On notera $k$ les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ et $p_k$ les probabilités égales à $P(X = k)$ .

$k$	$0$	…	…
$p_k$	$0{,}20$	…	…

1. b. Montrer que l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à $12{,}5$ et que sa variance $V(X)$ est égale à $40{,}75$ .

2. Pour tout entier naturel $i$ compris entre $1$ et $12$ , on note $X_i$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du $i$ -ème réacteur. Ainsi, par exemple, $X_2$ désigne la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du $2$ -ième réacteur.

On suppose que les variables $X_1, X_2, \ldots, X_{12}$ suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $X$ , et qu’elles sont indépendantes.

On considère la variable aléatoire $S$ qui donne la production totale journalière des $12$ réacteurs. On a ainsi $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$ . On note $E(S)$ l’espérance de la variable aléatoire $S$ et $V(S)$ sa variance.

2. a. Montrer que $E(S) = 150$ et $V(S) = 489$ .

2. b. Afin d’éviter le risque de surcharge du réseau et de couvrir l’ensemble des besoins en électricité, la production totale journalière des $12$ réacteurs doit être comprise strictement entre $100$ GWh et $200$ GWh.

Peut-on affirmer que la probabilité d’éviter le risque de surcharge et de couvrir l’ensemble des besoins en électricité est supérieure à $0{,}80$ ? Justifier.

Corrigé de la partie B

1. a. $X$ vaut $0$ si le réacteur est à l’arrêt, $10$ s’il fonctionne au ralenti et $16$ s’il fonctionne normalement.

$k$	$0$	$10$	$16$
$p_k$	$0{,}20$	$0{,}05$	$0{,}75$

E(X) = 0 \times 0{,}20 + 10 \times 0{,}05 + 16 \times 0{,}75 = 0{,}5 + 12 = 12{,}5

$E(X^2) = 100 \times 0{,}05 + 256 \times 0{,}75 = 5 + 192 = 197$ , donc :

V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 197 - 156{,}25 = 40{,}75

2. a. Par linéarité de l’espérance : $E(S) = 12 \times E(X) = 12 \times 12{,}5 = 150$ .

Les variables $X_1, \ldots, X_{12}$ étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : $V(S) = 12 \times V(X) = 12 \times 40{,}75 = 489$ .

b. Oui. On a $100 < S < 200 \iff -50 < S - 150 < 50 \iff |S - 150| < 50$ . D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

P(|S - 150| \geq 50) \leq \dfrac{V(S)}{50^2} = \dfrac{489}{2\,500} = 0{,}195\,6

Par passage à l’événement contraire :

P(100 < S < 200) = 1 - P(|S - 150| \geq 50) \geq 1 - 0{,}195\,6 = 0{,}804\,4

La probabilité d’éviter la surcharge tout en couvrant les besoins est au moins $0{,}804\,4$ , donc supérieure à $0{,}80$ .

Exercice 2 : deux protocoles d’administration d’un médicament (6 points)

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

La notice du médicament indique que :

le traitement doit durer au moins $7$ h ;
lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou égale à $3$ mg, il y a un risque de toxicité.

On s’intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au cours du temps sachant que le patient reçoit une première dose de $1$ mg.

Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont indépendantes.

Partie A : étude du premier protocole

Après l’injection de la première dose, une quantité supplémentaire de médicament est administrée régulièrement et de façon continue à un patient mis sous perfusion.

Dans cette partie, on modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient par une fonction $q$ définie sur $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , où $q(t)$ désigne la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient, et $t$ représente le temps, en heure, écoulé depuis l’injection initiale. On a ainsi $q(0) = 1$ .

On admet que :

la fonction $q$ est dérivable sur $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ et on note $q'$ sa fonction dérivée ;
la fonction $q$ est solution sur $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ de l’équation différentielle $(E)$ :

y' = -\dfrac{3}{10}\,y + 1

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ , définie et dérivable sur l’intervalle $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , et $y'$ sa fonction dérivée.

1. Donner les solutions sur $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ de l’équation différentielle $(E)$ .

2. Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , $q(t) = \dfrac{10}{3} - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}$ .

3. Déterminer la limite de la fonction $q$ en $+\infty$ . Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

4. Étudier les variations de la fonction $q$ sur $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ .

5. Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien de temps après l’injection initiale le médicament présente un risque pour le patient. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ .

6. D’après ce modèle, le protocole présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

Corrigé de la partie A

1. $(E)$ est de la forme $y' = ay + b$ avec $a = -\dfrac{3}{10}$ et $b = 1$ . La solution constante est $-\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}$ . Les solutions de $(E)$ sont les fonctions :

t \mapsto K\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} + \dfrac{10}{3}, \qquad K \in \mathbb{R}

2. $q$ est l’une de ces solutions : $q(t) = K\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} + \dfrac{10}{3}$ . Comme $q(0) = 1$ : $K + \dfrac{10}{3} = 1$ , donc $K = -\dfrac{7}{3}$ , et $q(t) = \dfrac{10}{3} - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}$ .

3. Quand $t \to +\infty$ , $-\dfrac{3}{10}t \to -\infty$ , donc $\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \to 0$ et :

\lim_{t \to +\infty} q(t) = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33

Sur le long terme, la quantité de médicament dans le sang se stabilise autour de $\dfrac{10}{3}$ mg, soit environ $3{,}33$ mg.

4. $q'(t) = -\dfrac{7}{3} \times \left(-\dfrac{3}{10}\right)\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} = \dfrac{7}{10}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t}$ . Une exponentielle est strictement positive, donc $q'(t) > 0$ : la fonction $q$ est strictement croissante sur $[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ .

5. Il y a risque quand $q(t) \geq 3$ :

\dfrac{10}{3} - \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \geq 3 \iff \dfrac{7}{3}\mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \leq \dfrac{1}{3} \iff \mathrm{e}^{-\frac{3}{10}t} \leq \dfrac{1}{7}

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ :

-\dfrac{3}{10}t \leq \ln\dfrac{1}{7} = -\ln 7 \iff t \geq \dfrac{10\ln 7}{3}

Le médicament présente un risque à partir de $t = \dfrac{10\ln 7}{3}$ heures, soit environ $6{,}5$ h après l’injection initiale.

6. Oui. Le traitement doit durer au moins $7$ h, or dès $\dfrac{10\ln 7}{3} \approx 6{,}5$ h la quantité de médicament atteint $3$ mg, puis elle reste au-dessus puisque $q$ est croissante. Par exemple, $q(7) \approx 3{,}05 \geq 3$ : ce protocole présente un risque de toxicité.

Partie B : étude du second protocole

On injecte au patient une première dose de médicament de $1$ mg. On admet que la quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse de $30\,\%$ toutes les heures. Pour compenser cette baisse, on injecte une dose supplémentaire de $0{,}75$ mg de médicament toutes les heures.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ , où, pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ représente la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient au bout de $n$ heures écoulées depuis l’injection initiale.

Sous ces conditions, on a $u_0 = 1$ .

1. Justifier que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 0{,}7 \times u_n + 0{,}75$ .

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n \leq u_{n+1} \leq 4$ .

b. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ .

d. D’après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

3. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n = u_n - 2{,}5$ .

a. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.

b. Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n$ .

4. D’après ce modèle, au bout de combien d’injections supplémentaires la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépasse-t-elle $2{,}4$ mg ?

Corrigé de la partie B

1. En une heure, la quantité $u_n$ baisse de $30\,\%$ : il en reste $(1 - 0{,}3)u_n = 0{,}7u_n$ . On ajoute ensuite la dose de $0{,}75$ mg : $u_{n+1} = 0{,}7u_n + 0{,}75$ .

2. a. Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n \leq u_{n+1} \leq 4$ ».

Initialisation : $u_0 = 1$ et $u_1 = 0{,}7 + 0{,}75 = 1{,}45$ . On a bien $1 \leq 1{,}45 \leq 4$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n$ , soit $u_n \leq u_{n+1} \leq 4$ . On multiplie par $0{,}7 > 0$ puis on ajoute $0{,}75$ :

0{,}7u_n + 0{,}75 \leq 0{,}7u_{n+1} + 0{,}75 \leq 0{,}7 \times 4 + 0{,}75

c’est-à-dire $u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 3{,}55$ , et comme $3{,}55 \leq 4$ : $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , $u_n \leq u_{n+1} \leq 4$ .

b. La suite $(u_n)$ est croissante (car $u_n \leq u_{n+1}$ ) et majorée par $4$ : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge.

c. La fonction $x \mapsto 0{,}7x + 0{,}75$ est continue, donc la limite $\ell$ vérifie $\ell = 0{,}7\ell + 0{,}75$ , soit $0{,}3\ell = 0{,}75$ et $\ell = 2{,}5$ .

d. Non. La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $2{,}5$ : tous ses termes sont inférieurs ou égaux à sa limite, donc $u_n \leq 2{,}5 < 3$ pour tout $n$ . La quantité de médicament n’atteint jamais le seuil de toxicité de $3$ mg : ce traitement ne présente pas de risque.

3. a. Pour tout entier naturel $n$ :

v_{n+1} = u_{n+1} - 2{,}5 = 0{,}7u_n + 0{,}75 - 2{,}5 = 0{,}7u_n - 1{,}75 = 0{,}7(u_n - 2{,}5) = 0{,}7v_n

$(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}7$ et de terme initial $v_0 = u_0 - 2{,}5 = -1{,}5$ .

b. Pour tout entier naturel $n$ , $v_n = -1{,}5 \times 0{,}7^n$ , donc $u_n = v_n + 2{,}5 = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n$ .

4. On résout $u_n > 2{,}4$ :

2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n > 2{,}4 \iff 1{,}5 \times 0{,}7^n < 0{,}1 \iff 0{,}7^n < \dfrac{1}{15}

La fonction $\ln$ est strictement croissante, et $\ln(0{,}7) < 0$ (on change donc le sens de l’inégalité en divisant) :

n\ln(0{,}7) < -\ln 15 \iff n > \dfrac{-\ln 15}{\ln(0{,}7)} \approx 7{,}59

Le plus petit entier qui convient est $n = 8$ . Vérification : $u_7 \approx 2{,}376$ et $u_8 \approx 2{,}414$ . Comme $u_n$ est la quantité juste après la $n$ -ième injection supplémentaire, la quantité dépasse $2{,}4$ mg au bout de 8 injections supplémentaires.

Exercice 3 : vrai ou faux en géométrie dans l’espace (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse donnée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\left(O \,;\, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\right)$ .

On considère :

les points $S\left(-1 \,;\, \sqrt{2} \,;\, -4\right)$ , $A\left(2 \,;\, \sqrt{2} \,;\, -1\right)$ , $B\left(1 \,;\, \sqrt{2} \,;\, 0\right)$ et $C(2 \,;\, 0 \,;\, -1)$ ;
la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par :

\left\{\begin{array}{l} x = 2 - k \\ y = \sqrt{2}\,k \\ z = -1 - k \end{array}\right. , \quad k \in \mathbb{R} \,;

le plan $P$ dont une équation cartésienne est : $x - z + 1 = 0$ .

On admet que les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : le vecteur $\overrightarrow{SA}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ .

Affirmation 2 : les droites $(SB)$ et $d$ sont sécantes.

Affirmation 3 : la droite $d$ est parallèle au plan $P$ .

Affirmation 4 : le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $P$ est le point $H$ de coordonnées $\left(-3 \,;\, \sqrt{2} \,;\, -2\right)$ .

Corrigé de l’exercice 3

Affirmation 1 : vraie. On a $\overrightarrow{SA}\,(3 \,;\, 0 \,;\, 3)$ , $\overrightarrow{AB}\,(-1 \,;\, 0 \,;\, 1)$ et $\overrightarrow{AC}\,\left(0 \,;\, -\sqrt{2} \,;\, 0\right)$ .

\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AB} = -3 + 0 + 3 = 0 \qquad \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 + 0 + 0 = 0

Comme $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ . $\overrightarrow{SA}$ , non nul, est orthogonal à chacun d’eux : c’est un vecteur normal au plan $(ABC)$ .

Affirmation 2 : fausse. $\overrightarrow{SB}\,(2 \,;\, 0 \,;\, 4)$ , donc une représentation paramétrique de $(SB)$ est $x = -1 + 2s$ , $y = \sqrt{2}$ , $z = -4 + 4s$ ( $s \in \mathbb{R}$ ). Un point commun vérifierait :

\left\{\begin{array}{l} 2 - k = -1 + 2s \\ \sqrt{2}\,k = \sqrt{2} \\ -1 - k = -4 + 4s \end{array}\right.

La deuxième ligne donne $k = 1$ , puis la première $s = 1$ . La troisième devient $-2 = 0$ : impossible. Les droites n’ont aucun point commun, elles ne sont pas sécantes. (Leurs vecteurs directeurs $(2 \,;\, 0 \,;\, 4)$ et $\left(-1 \,;\, \sqrt{2} \,;\, -1\right)$ ne sont pas colinéaires : elles sont même non coplanaires.)

Affirmation 3 : vraie. Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\,\left(-1 \,;\, \sqrt{2} \,;\, -1\right)$ et un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}\,(1 \,;\, 0 \,;\, -1)$ .

\vec{u} \cdot \vec{n} = -1 + 0 + 1 = 0

$\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{n}$ : la droite $d$ est parallèle au plan $P$ . (Le point de $d$ obtenu pour $k = 0$ , qui est $C(2 \,;\, 0 \,;\, -1)$ , vérifie $2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$ : $d$ est même strictement parallèle à $P$ .)

Affirmation 4 : vraie. Deux conditions à vérifier.

$H$ appartient à $P$ : $-3 - (-2) + 1 = 0$ .
$\overrightarrow{SH}\,(-2 \,;\, 0 \,;\, 2) = -2\vec{n}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}\,(1 \,;\, 0 \,;\, -1)$ : la droite $(SH)$ est orthogonale à $P$ .

$H$ est donc le projeté orthogonal de $S$ sur $P$ .

Exercice 4 : étude de x ln(2x − 1) (6 points)

Partie A : lecture graphique

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ . On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction $f$ , notée $\mathcal{C}$ , ainsi que la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $A(1 \,;\, 0)$ . On précise que $T$ passe par le point $B(0 \,;\, -2)$ .

Repère orthogonal : la courbe C part vers le bas le long de la verticale x = 0,5, monte en passant sous la tangente puis la traverse au point A(1 ; 0) et reste au-dessus ensuite, jusqu’à environ 6,5 vers x = 3,6 ; la tangente T en pointillés passe par B(0 ; −2) et A(1 ; 0)

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l’aide du graphique.

1. Déterminer $f'(1)$ .

2. La fonction $f$ est-elle concave sur $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ ?

3. Déterminer $f''(1)$ .

Corrigé de la partie A

1. $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ , qui passe par $A(1 \,;\, 0)$ et $B(0 \,;\, -2)$ :

f'(1) = \dfrac{0 - (-2)}{1 - 0} = 2

2. Non. Une fonction concave a sa courbe en dessous de chacune de ses tangentes. Or, pour $x > 1$ , la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente $T$ . Graphiquement, $f$ semble concave sur $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, 1\right]$ (courbe sous $T$ ) et convexe sur $[1 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ .

3. Au point $A$ , la courbe traverse sa tangente : $A$ est un point d’inflexion, où $f''$ s’annule en changeant de signe. Donc $f''(1) = 0$ .

Partie B : étude de fonction

On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ par :

f(x) = x\ln(2x - 1)

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On rappelle que :

la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ , que $f'$ désigne sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde ;
$\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ .

1. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $\dfrac{1}{2}$ . En déduire une interprétation graphique.

2. Résoudre l’équation $f(x) = 0$ sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ .

3. On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ :

f'(x) = \ln(2x - 1) + \dfrac{2x}{2x - 1}.

3. a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ :

f''(x) = \dfrac{4(x - 1)}{(2x - 1)^2}.

3. b. Montrer que $\mathcal{C}$ admet un unique point d’inflexion et que ce point est l’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.

4. a. Montrer que la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[1 \,;\, 2]$ .

4. b. On admet que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ , on a :

\dfrac{x^2}{2x - 1} = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} \times \dfrac{2}{2x - 1}.

Montrer que :

\int_1^2 \dfrac{x^2}{2x - 1}\,\mathrm{d}x = 1 + \dfrac{1}{8}\ln(3).

4. c. On note $\mathcal{A}$ l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ , l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 1$ et $x = 2$ .

En vous aidant d’une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l’aire $\mathcal{A}$ en unité d’aire.

Corrigé de la partie B

1. Quand $x \to \dfrac{1}{2}$ avec $x > \dfrac{1}{2}$ , $2x - 1 \to 0^+$ , donc $\ln(2x - 1) \to -\infty$ . Comme $x \to \dfrac{1}{2} > 0$ , par produit :

\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = -\infty

La droite d’équation $x = \dfrac{1}{2}$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$ .

2. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. $x = 0$ n’appartient pas à l’intervalle, donc :

f(x) = 0 \iff \ln(2x - 1) = 0 \iff 2x - 1 = 1 \iff x = 1

L’ensemble des solutions est $\{1\}$ .

3. a. On dérive $f'$ . La dérivée de $\ln(2x - 1)$ est $\dfrac{2}{2x - 1}$ . Pour $\dfrac{2x}{2x - 1}$ , on utilise la dérivée d’un quotient avec $u = 2x$ , $u' = 2$ , $v = 2x - 1$ , $v' = 2$ :

\left(\dfrac{2x}{2x - 1}\right)' = \dfrac{2(2x - 1) - 2x \times 2}{(2x - 1)^2} = \dfrac{-2}{(2x - 1)^2}

On met au même dénominateur :

f''(x) = \dfrac{2(2x - 1)}{(2x - 1)^2} - \dfrac{2}{(2x - 1)^2} = \dfrac{4x - 4}{(2x - 1)^2} = \dfrac{4(x - 1)}{(2x - 1)^2}

b. Sur $\left]\dfrac{1}{2} \,;\, +\infty\right[$ , $(2x - 1)^2 > 0$ : $f''(x)$ est du signe de $x - 1$ .

\begin{array}{c|ccccc} x & \frac{1}{2} & & 1 & & +\infty \\ \hline f''(x) & & - & 0 & + & \\ \hline f & & \text{concave} & & \text{convexe} & \end{array}

$f''$ s’annule en changeant de signe uniquement en $x = 1$ : $\mathcal{C}$ admet un unique point d’inflexion, d’abscisse $1$ . Son ordonnée est $f(1) = 1 \times \ln 1 = 0$ : c’est le point $(1 \,;\, 0)$ , c’est-à-dire le point $A$ . D’après la question 2, c’est le seul point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.

4. a. Pour $x \in [1 \,;\, 2]$ : $x > 0$ et $2x - 1 \geq 1$ , donc $\ln(2x - 1) \geq 0$ . Par produit, $f(x) \geq 0$ .

b. On intègre l’égalité admise terme à terme. Une primitive de $\dfrac{2}{2x - 1}$ est $\ln(2x - 1)$ (de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u > 0$ ), donc une primitive de $x \mapsto \dfrac{x^2}{2x - 1}$ est $x \mapsto \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{8}\ln(2x - 1)$ .

\int_1^2 \dfrac{x^2}{2x - 1}\,\mathrm{d}x = \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\ln 3\right) - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\ln 1\right) = 1 + \dfrac{1}{8}\ln 3

c. D’après la question 4. a, $f \geq 0$ sur $[1 \,;\, 2]$ , donc $\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^2 x\ln(2x - 1)\,\mathrm{d}x$ .

On intègre par parties avec $u(x) = \ln(2x - 1)$ , $u'(x) = \dfrac{2}{2x - 1}$ , $v'(x) = x$ , $v(x) = \dfrac{x^2}{2}$ (fonctions dérivables à dérivées continues sur $[1 \,;\, 2]$ ) :

\mathcal{A} = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln(2x - 1)\right]_1^2 - \int_1^2 \dfrac{x^2}{2} \times \dfrac{2}{2x - 1}\,\mathrm{d}x = 2\ln 3 - \int_1^2 \dfrac{x^2}{2x - 1}\,\mathrm{d}x

Avec la question 4. b :

\mathcal{A} = 2\ln 3 - 1 - \dfrac{1}{8}\ln 3 = \dfrac{15}{8}\ln 3 - 1 \approx 1{,}06 \text{ u.a.}

Partie C : généralisation

On désigne par $a$ un réel strictement positif et par $f_a$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{a} \,;\, +\infty\right[$ par :

f_a(x) = x\ln(ax - 1).

On admet que $f_a$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{a} \,;\, +\infty\right[$ . On note $f_a'$ sa fonction dérivée, $f_a''$ sa fonction dérivée seconde, et $\mathcal{C}_a$ sa représentation graphique.

On admet que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $\left]\dfrac{1}{a} \,;\, +\infty\right[$ :

f_a''(x) = \dfrac{a(ax - 2)}{(ax - 1)^2}.

1. Montrer que pour tout réel $a$ strictement positif, la courbe $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d’inflexion $A_a$ .

2. Montrer que les points $A_a$ sont alignés, $a$ appartenant à l’intervalle $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ .

Corrigé de la partie C

1. Sur $\left]\dfrac{1}{a} \,;\, +\infty\right[$ , $(ax - 1)^2 > 0$ et $a > 0$ : $f_a''(x)$ est du signe de $ax - 2$ . Comme $a > 0$ :

ax - 2 < 0 \iff x < \dfrac{2}{a} \qquad ax - 2 > 0 \iff x > \dfrac{2}{a}

Et $\dfrac{2}{a} > \dfrac{1}{a}$ , donc $\dfrac{2}{a}$ appartient bien à l’intervalle. $f_a''$ est négative sur $\left]\dfrac{1}{a} \,;\, \dfrac{2}{a}\right[$ , s’annule en $\dfrac{2}{a}$ et est positive sur $\left]\dfrac{2}{a} \,;\, +\infty\right[$ : elle change de signe en un seul point. $\mathcal{C}_a$ admet donc un unique point d’inflexion $A_a$ , d’abscisse $\dfrac{2}{a}$ .

2. L’ordonnée de $A_a$ est :

f_a\left(\dfrac{2}{a}\right) = \dfrac{2}{a}\ln\left(a \times \dfrac{2}{a} - 1\right) = \dfrac{2}{a}\ln 1 = 0

Donc $A_a\left(\dfrac{2}{a} \,;\, 0\right)$ : tous les points $A_a$ sont sur l’axe des abscisses, ils sont alignés. (On retrouve le point $A(1 \,;\, 0)$ de la partie B pour $a = 2$ .)

Sujet officiel

26-MATJ1AG1 · session 2026

Baccalauréat général 2026, épreuve d’enseignement de spécialité, mathématiques, 16 juin 2026, Antilles-GuyanePDF officiel ↗