Épreuve anticipée · session 2026 · Avec spécialité maths, métropole, La Réunion, Mayotte

Épreuve anticipée de maths 2026, avec spécialité (métropole) : sujet et corrigé

Le sujet du 12 juin 2026 en métropole pour les élèves de spécialité maths : 8 automatismes, arbre pondéré, vrai-faux, produit scalaire, corrigés pas à pas.

Durée: 2 heures
Calculatrice: interdite
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

En 2026, la première partie était un QCM. À partir de 2027, elle devient une liste de questions à réponses courtes : entraîne-toi à trouver le résultat sans t’aider des propositions.

Première partie : automatismes (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 1

La forme développée de l’expression $(3x - 2)^2$ est :

9x^2 - 4

3x^2 - 12x + 4

9x^2 - 12x + 4

6x - 4

Corrigé

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 2$ : $(3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$ . Réponse c. La réponse a oublie le double produit, la réponse b oublie d’élever $3$ au carré.

Question 2

Dans le repère $(O, I, J)$ ci-dessous, la droite $(\Delta)$ a pour équation :

Droite (Δ) qui coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 2 et l’axe des abscisses au point d’abscisse 2

y = 2x + 2

y = -2x + 2

y = -x + 2

y = x + 2

Corrigé

La droite coupe l’axe des ordonnées en $2$ : l’ordonnée à l’origine est $2$ . Elle passe par $(0 \,;\, 2)$ et $(2 \,;\, 0)$ , donc son coefficient directeur est $\dfrac{0 - 2}{2 - 0} = -1$ : $y = -x + 2$ . Réponse c. Elle descend, ce qui élimine déjà a et d.

Question 3

Dans une classe de première, $75\,\%$ des élèves étudient le grec. Les autres élèves étudient le latin : ils sont $9$ . Le nombre d’élèves de cette classe de première est égal à :

24

30

34

36

Corrigé

Les latinistes représentent $25\,\%$ de la classe, soit un quart : $9 \times 4 = 36$ élèves. Réponse d.

Question 4

Le prix d’un article augmente de $15\,\%$ . Cela signifie que le prix de cet article a été multiplié par :

\dfrac{15}{100}

1{,}15

0{,}85

1{,}115

Corrigé

Augmenter de $15\,\%$ , c’est multiplier par $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$ . Réponse b. $0{,}85$ correspond à une baisse de $15\,\%$ .

Question 5

Parmi les réponses proposées, la valeur la plus proche de $\dfrac{150\,000}{3\,200}$ est :

5

50

500

5\,000

Corrigé

$\dfrac{150\,000}{3\,200} = \dfrac{1\,500}{32}$ , et $32 \times 50 = 1\,600$ : le quotient est un peu inférieur à $50$ (environ $47$ ). Réponse b.

Question 6

Une vidéo, d’une durée de $1$ minute et $40$ secondes, contient $2\,400$ images. Le nombre d’images par seconde est égal à :

60

images/seconde

24

images/seconde

120

images/seconde

15

images/seconde

Corrigé

$1$ min $40$ s $= 100$ s, et $\dfrac{2\,400}{100} = 24$ images par seconde. Réponse b.

Question 7

On considère une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 0{,}5(x - 3)^2 + 10$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère. Un seul des quatre points ci-dessous appartient à la courbe $\mathcal{C}$ . Lequel ?

A(-3 \,;\, 10)

B(3 \,;\, 10{,}5)

C(3 \,;\, 10)

D(0 \,;\, 19{,}5)

Corrigé

$f(3) = 0{,}5 \times 0^2 + 10 = 10$ : le point $C(3 \,;\, 10)$ est sur la courbe. Réponse c. Contrôle : $f(-3) = 0{,}5 \times 36 + 10 = 28$ et $f(0) = 0{,}5 \times 9 + 10 = 14{,}5$ .

Question 8

On considère le nombre $A = \dfrac{10^{201} \times 10^{-4}}{\left(10^2\right)^{100}}$ . On peut affirmer que :

A = -0{,}001

A = 0{,}0001

A = 0{,}001

A = 1\,000

Corrigé

A = \dfrac{10^{201 - 4}}{10^{200}} = 10^{197 - 200} = 10^{-3} = 0{,}001

Réponse c. Une puissance de $10$ est toujours positive, ce qui élimine a.

Deuxième partie, exercice 1 : location de bicyclettes (5 points)

Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance. On dispose des informations suivantes : $60\,\%$ des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique ; parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, $25\,\%$ ont pris une assurance ; $20\,\%$ de l’ensemble des clients ont pris une assurance.

On choisit un client au hasard et on note les événements $T$ : « le client a loué une bicyclette traditionnelle » et $A$ : « le client a pris une assurance ».

1. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

Arbre pondéré : branches T et T barre depuis la racine, puis A et A barre ; pointillés sur les branches vers T, vers T barre et sur les deux branches issues de T

2. Donner, par simple lecture de l’énoncé, la probabilité de l’événement $A$ .

3. Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu’il ait pris une assurance est égale à $0{,}15$ .

4. En déduire que la probabilité $P\left(\overline{T} \cap A\right)$ est égale à $0{,}05$ .

5. Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu’il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Corrigé de l’exercice 1

1. $P(T) = 0{,}6$ et $P(\overline{T}) = 0{,}4$ ; $P_T(A) = 0{,}25$ et $P_T(\overline{A}) = 0{,}75$ .

2. « $20\,\%$ de l’ensemble des clients ont pris une assurance » : $P(A) = 0{,}2$ .

3. $P(T \cap A) = P(T) \times P_T(A) = 0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}15$ .

4. D’après la formule des probabilités totales, $P(A) = P(T \cap A) + P(\overline{T} \cap A)$ , donc :

P(\overline{T} \cap A) = 0{,}2 - 0{,}15 = 0{,}05

5. On cherche $P_{\overline{T}}(A)$ :

P_{\overline{T}}(A) = \dfrac{P(\overline{T} \cap A)}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}05}{0{,}4} = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}

Deuxième partie, exercice 2 : vrai ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Les trois questions sont indépendantes.

1. On considère un réel $u$ . On considère sur $\mathbb{R}$ l’équation $(E) : x^2 + x - u^2 = 0$ .
Affirmation : quelle que soit la valeur du réel $u$ , l’équation $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.

2. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2^{-n}$ .
Affirmation : la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ .

3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère, $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ , et $A$ le point de coordonnées $(3 \,;\, 3)$ .
Affirmation : le point $A$ appartient à la tangente $T$ .

Corrigé de l’exercice 2

1. Vraie. Le discriminant vaut $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-u^2) = 1 + 4u^2$ . Pour tout réel $u$ , $4u^2 \geq 0$ , donc $\Delta \geq 1 > 0$ : l’équation a toujours deux solutions réelles distinctes.

2. Vraie. $u_n = 2^{-n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ . Pour tout $n$ , $u_{n+1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} = \dfrac{1}{2} \times u_n$ : la suite est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ (et de premier terme $u_0 = 1$ ).

3. Vraie. $f(0) = \mathrm{e}^0 - 1 = 0$ et $f'(x) = \mathrm{e}^{x}$ , donc $f'(0) = 1$ . La tangente a pour équation $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$ , soit $y = x$ . Le point $A(3 \,;\, 3)$ vérifie $3 = 3$ : il est sur $T$ .

Deuxième partie, exercice 3 : produit scalaire (4 points)

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points $P(4 \,;\, 0)$ et $K(1 \,;\, 0)$ . On considère un réel $x$ et on note $M$ le point de coordonnées $(x \,;\, 3)$ .

Repère avec les points K(1 ; 0) et P(4 ; 0) sur l’axe des abscisses, et M d’ordonnée 3

1. Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KP}$ ainsi que sa norme.

2. Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ ainsi que sa norme.

3. Montrer que le produit scalaire $\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM}$ est égal à $3x - 3$ .

4. Montrer que si l’angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\dfrac{\pi}{3}$ , alors le réel $x$ est solution de l’équation $(E) : \sqrt{(x - 1)^2 + 9} = 2x - 2$ .

5. Vérifier que le réel $1 + \sqrt{3}$ est solution de l’équation $(E)$ .

Corrigé de l’exercice 3

1. $\overrightarrow{KP}\,(4 - 1 \,;\, 0 - 0) = \overrightarrow{KP}\,(3 \,;\, 0)$ , et $\|\overrightarrow{KP}\| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$ .

2. $\overrightarrow{KM}\,(x - 1 \,;\, 3)$ , et $\|\overrightarrow{KM}\| = \sqrt{(x - 1)^2 + 9}$ .

3. $\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM} = 3 \times (x - 1) + 0 \times 3 = 3x - 3$ .

4. On a aussi $\overrightarrow{KP} \cdot \overrightarrow{KM} = \|\overrightarrow{KP}\| \times \|\overrightarrow{KM}\| \times \cos\widehat{PKM}$ . Si $\widehat{PKM} = \dfrac{\pi}{3}$ , alors $\cos\widehat{PKM} = \dfrac{1}{2}$ et :

3x - 3 = 3 \times \sqrt{(x - 1)^2 + 9} \times \dfrac{1}{2} \iff \sqrt{(x - 1)^2 + 9} = \dfrac{2(3x - 3)}{3} = 2x - 2

5. Pour $x = 1 + \sqrt{3}$ : $x - 1 = \sqrt{3}$ , donc le membre de gauche vaut $\sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , et le membre de droite vaut $2(1 + \sqrt{3}) - 2 = 2\sqrt{3}$ . Les deux membres sont égaux : $1 + \sqrt{3}$ est solution de $(E)$ .

Sujet officiel

26-MATSPEGEME1 · session 2026

Baccalauréat général 2026, mathématiques, épreuve anticipée, candidats avec enseignement de spécialité, vendredi 12 juin 2026, métropolePDF officiel ↗