Épreuve anticipée · session 2026 · Avec spécialité maths, centres étrangers du groupe 1

Épreuve anticipée de maths 2026, avec spécialité (centres étrangers) : sujet et corrigé

Sujet 2026 des centres étrangers (groupe 1), élèves de spécialité maths : 8 questions d’automatismes, suites, produit scalaire et dérivation, corrigés pas à pas.

Durée: 2 heures
Calculatrice: interdite
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

En 2026, la première partie était un QCM. À partir de 2027, elle devient une liste de questions à réponses courtes : entraîne-toi à trouver le résultat sans t’aider des propositions.

Première partie : automatismes (6 points)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

Soient $A$ et $B$ deux événements. On donne l’arbre de probabilités ci-dessous.

Arbre pondéré : P(A) = 0,4, P_A(B) = 0,2, P_Ā(B) = 0,7

On peut alors affirmer que $P(\overline{A} \cap B)$ est égale à :

1{,}3

0{,}42

0{,}7

0{,}18

Corrigé

On multiplie les probabilités le long du chemin $\overline{A}$ puis $B$ :

P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) = 0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42

Réponse b. La réponse c ( $0{,}7$ ) est $P_{\overline{A}}(B)$ , une probabilité conditionnelle, à ne pas confondre avec l’intersection.

Question 2

Dans un lycée, $150$ élèves de première générale suivent la spécialité Mathématiques, ce qui représente $\dfrac{3}{5}$ de l’ensemble des élèves de première générale.

Le nombre d’élèves en première générale dans ce lycée est :

90

200

250

300

Corrigé

On connaît la partie ( $150$ ) et la proportion ( $\dfrac{3}{5}$ ) : on cherche le tout.

N = \dfrac{150}{\frac{3}{5}} = 150 \times \dfrac{5}{3} = 250

Réponse c. Vérification : $\dfrac{3}{5} \times 250 = 150$ .

Question 3

On considère les nombres $A = \dfrac{1}{3}$ et $B = \dfrac{5}{6}$ . Le nombre $\dfrac{A}{B} + 1$ est égal à :

\dfrac{7}{5}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{23}{18}

\dfrac{7}{3}

Corrigé

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :

\dfrac{A}{B} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} \qquad \dfrac{A}{B} + 1 = \dfrac{2}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{7}{5}

Réponse a.

Question 4

Dans un repère orthonormé $(O \,;\, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$ , la droite $d$ d’équation réduite $y = \dfrac{1}{3}x + 1$ est représentée par :

Quatre droites tracées dans un repère, notées a, b, c et d

Corrigé

L’ordonnée à l’origine vaut $1$ : la droite passe par $(0 \,;\, 1)$ . Cela élimine a, qui coupe l’axe des ordonnées en $3$ .
Le coefficient directeur vaut $\dfrac{1}{3}$ : quand on avance de $3$ carreaux, on monte de $1$ . La droite est donc peu inclinée.

Les droites b et d montent beaucoup trop vite (coefficients $3$ et $2$ ). Réponse c.

Question 5

La forme développée de $(x^3 - 1)^2$ est :

x^6 - 1

x^6 - 2x^3 + 1

x^5 - 2x^3 + 1

x^6 + 2x^3 - 1

Corrigé

On applique $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = x^3$ et $b = 1$ :

(x^3 - 1)^2 = (x^3)^2 - 2 \times x^3 \times 1 + 1^2 = x^6 - 2x^3 + 1

Réponse b. Attention : $(x^3)^2 = x^{3 \times 2} = x^6$ , et non $x^5$ .

Question 6

L’évolution globale correspondant à une hausse de $20\,\%$ puis une baisse de $50\,\%$ est une baisse de :

10\,\%

30\,\%

40\,\%

60\,\%

Corrigé

Les coefficients multiplicateurs se multiplient :

CM = 1{,}2 \times 0{,}5 = 0{,}6 \quad\text{soit}\quad t = 0{,}6 - 1 = -0{,}4

C’est une baisse de $40\,\%$ : réponse c. Le piège est d’additionner les pourcentages ( $+20 - 50 = -30$ ).

Question 7

Ce tableau donne les résultats partiels d’un sondage dans une classe de première comptant $25$ élèves.

	16 ans ou moins	Plus de 16 ans
Suivent la spécialité Mathématiques	8
Ne suivent pas la spécialité Mathématiques	7	4

On interroge un élève de cette classe au hasard. La probabilité que ce soit un élève qui suive la spécialité Mathématiques sachant qu’il est âgé de plus de 16 ans est :

\dfrac{3}{7}

\dfrac{6}{25}

6

\dfrac{3}{5}

Corrigé

On complète le tableau. La case vide vaut $25 - 8 - 7 - 4 = 6$ , et la colonne « plus de 16 ans » contient $6 + 4 = 10$ élèves.

« Sachant qu’il a plus de 16 ans » : on se restreint à ces $10$ élèves, dont $6$ suivent la spécialité.

P = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}

Réponse d. La réponse b ( $\dfrac{6}{25}$ ) est la probabilité de l’intersection, pas la probabilité conditionnelle. La réponse c ne peut pas être une probabilité.

Question 8

Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que $x = \dfrac{5}{2 + y}$ . On peut affirmer que :

y = \dfrac{10}{2x - 5}

y = \dfrac{5}{2 + x}

y = 5 - 2x

y = \dfrac{5}{x} - 2

Corrigé

On isole $y$ :

x = \dfrac{5}{2 + y} \iff x(2 + y) = 5 \iff 2 + y = \dfrac{5}{x} \iff y = \dfrac{5}{x} - 2

Réponse d. On peut vérifier avec $y = 3$ : $x = \dfrac{5}{5} = 1$ , et $\dfrac{5}{1} - 2 = 3$ .

Deuxième partie, exercice 1 (5 points)

Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d’ombrage et de résistance à la sécheresse.

Partie A

Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure $1$ mètre. On suppose que chaque année la hauteur de l’arbre augmente de $40$ cm. Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ la hauteur de l’arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi $u_0 = 1$ .

a. Calculer $u_1$ .
b. Quelle sera la hauteur de l’arbre deux années après sa plantation ?
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier.
Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Au bout de combien d’années le mûrier atteindra-t-il $9$ mètres de haut ?

Corrigé de la partie A

1. a. $40$ cm $= 0{,}4$ m, donc $u_1 = u_0 + 0{,}4 = 1{,}4$ .
b. $u_2 = u_1 + 0{,}4 = 1{,}8$ : l’arbre mesurera $1{,}8$ m.

2. Chaque année, on ajoute la même quantité : pour tout $n$ , $u_{n+1} = u_n + 0{,}4$ . La suite $(u_n)$ est arithmétique, de raison $r = 0{,}4$ et de premier terme $u_0 = 1$ .

3. Pour une suite arithmétique, $u_n = u_0 + nr$ , donc

u_n = 1 + 0{,}4n

4. On résout $1 + 0{,}4n = 9$ : $0{,}4n = 8$ , donc $n = \dfrac{8}{0{,}4} = 20$ . Le mûrier atteindra $9$ mètres au bout de 20 ans.

Partie B

Au moment de la plantation, l’arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe $4$ nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe $8$ nouvelles branches. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double, comme représenté sur le schéma ci-dessous.

Schéma : l’arbre à l’année 0 (2 branches), à l’année 1 (4 nouvelles branches), à l’année 2 (8 nouvelles branches)

Pour tout entier naturel $n$ , on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l’arbre possède $2$ branches, ainsi on pose $v_0 = 2$ .

Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Justifier.
a. Un an après la plantation, l’arbre a produit $4$ nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à $6$ . Montrer que, trois ans après sa plantation, l’arbre possède un nombre total de branches égal à $30$ .
b. On donne le programme ci-dessous, écrit en langage Python. Rappel : for i in range(n) permet de répéter n fois un ensemble d’instructions.

v = 2
total = 2
for i in range(10):
    v = 2 * v
    total = total + v
print(total)

La valeur affichée par ce programme est $4\,094$ . Dans le contexte de l’exercice, que représente la valeur $4\,094$ affichée par ce programme ?

Corrigé de la partie B

1. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double : pour tout $n$ , $v_{n+1} = 2v_n$ . La suite $(v_n)$ est géométrique, de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 2$ . Ainsi $v_n = 2 \times 2^n = 2^{n+1}$ .

2. a. On additionne les branches apparues chaque année, de l’année 0 à l’année 3 :

v_0 + v_1 + v_2 + v_3 = 2 + 4 + 8 + 16 = 30

b. La variable v prend successivement les valeurs $v_1, v_2, \ldots, v_{10}$ , et total les ajoute à $v_0 = 2$ . Le programme affiche donc $v_0 + v_1 + \cdots + v_{10}$ : le nombre total de branches de l’arbre dix ans après sa plantation, soit $4\,094$ branches.

On peut le vérifier avec la somme des termes d’une suite géométrique : $2 \times \dfrac{2^{11} - 1}{2 - 1} = 2 \times 2\,047 = 4\,094$ .

Deuxième partie, exercice 2 (3 points)

On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. On considère les points $A(-1 \,;\, 5)$ , $B(3 \,;\, 5)$ et $C(4 \,;\, 0)$ .

a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
b. En déduire la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ .
a. Montrer que $AC = 5\sqrt{2}$ . On admet que $AB = 4$ .
b. Écrire l’expression permettant de calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ en fonction de l’angle $\widehat{BAC}$ .
c. En déduire une mesure, en radian, de l’angle $\widehat{BAC}$ .

Aide aux calculs : $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Corrigé de l’exercice 2

1. a. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 5 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 - (-1) \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$ .

b. Dans un repère orthonormé, $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'$ :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 5 + 0 \times (-5) = 20

2. a. $AC = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ .

b. $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$ .

c. On égale les deux expressions :

20 = 4 \times 5\sqrt{2} \times \cos(\widehat{BAC}) \iff \cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{20}{20\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

L’angle $\widehat{BAC}$ est compris entre $0$ et $\pi$ , donc $\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{4}$ rad.

Deuxième partie, exercice 3 (6 points)

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ . On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T_A$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(1 \,;\, 20)$ . La droite $T_A$ passe par le point $B$ de coordonnées $(3 \,;\, 10)$ .

Courbe de f, tangente T_A au point A(1 ; 20), passant par B(3 ; 10)

a. Donner $f(1)$ .
b. Déterminer la valeur de $f'(1)$ .
c. Justifier que l’équation réduite de la tangente $T_A$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est $y = -5x + 25$ .

Pour la suite de l’exercice, la fonction $f$ est définie sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ par $f(x) = \dfrac{4x^2 + 7x + 9}{x}$ . On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle.

a. Démontrer que pour tout $x \in \,\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , on a $f'(x) = \dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{x^2}$ .
b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ .
c. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ .
Existe-t-il une tangente à $\mathcal{C}_f$ parallèle à la droite d’équation $y = 3x + 5$ ? Justifier votre réponse.

Corrigé de l’exercice 3

1. a. Le point $A(1 \,;\, 20)$ est sur la courbe, donc $f(1) = 20$ .

b. $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ , qui passe par $A$ et $B$ :

f'(1) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{10 - 20}{3 - 1} = -5

c. La tangente en $A$ a pour équation $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ , soit $y = -5(x - 1) + 20 = -5x + 25$ .

2. a. On simplifie d’abord : pour $x > 0$ , $f(x) = \dfrac{4x^2}{x} + \dfrac{7x}{x} + \dfrac{9}{x} = 4x + 7 + \dfrac{9}{x}$ . Donc

f'(x) = 4 - \dfrac{9}{x^2} = \dfrac{4x^2 - 9}{x^2} = \dfrac{(2x - 3)(2x + 3)}{x^2}

en reconnaissant la différence de deux carrés $(2x)^2 - 3^2$ .

b. Sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , $x^2 > 0$ et $2x + 3 > 0$ . Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $2x - 3$ , qui s’annule en $x = \dfrac{3}{2}$ :

$f'(x) < 0$ sur $\left]0 \,;\, \dfrac{3}{2}\right[$ ;
$f'(x) > 0$ sur $\left]\dfrac{3}{2} \,;\, +\infty\right[$ .

c. La fonction $f$ est décroissante sur $\left]0 \,;\, \dfrac{3}{2}\right]$ et croissante sur $\left[\dfrac{3}{2} \,;\, +\infty\right[$ . Elle admet un minimum en $\dfrac{3}{2}$ :

f\left(\dfrac{3}{2}\right) = 4 \times \dfrac{3}{2} + 7 + 9 \times \dfrac{2}{3} = 6 + 7 + 6 = 19

3. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On cherche donc $a > 0$ tel que $f'(a) = 3$ :

4 - \dfrac{9}{a^2} = 3 \iff \dfrac{9}{a^2} = 1 \iff a^2 = 9 \iff a = 3 \quad (a > 0)

Oui : la tangente au point d’abscisse $3$ est parallèle à la droite $y = 3x + 5$ . Comme $f(3) = 12 + 7 + 3 = 22$ , son équation est $y = 3(x - 3) + 22 = 3x + 13$ .

Sujet officiel

26-MATSPEGEG11 · session 2026

Baccalauréat général 2026, mathématiques, épreuve anticipée, candidats avec enseignement de spécialité, centres étrangers du groupe 1PDF officiel ↗