Épreuve anticipée · session 2026 · Avec spécialité maths, Antilles-Guyane

Épreuve anticipée de maths 2026, avec spécialité (Antilles-Guyane) : sujet et corrigé

Le sujet Antilles-Guyane 2026 pour les élèves de spécialité maths : 8 automatismes, suite géométrique et Python, arbre pondéré, espérance, vrai-faux.

Durée: 2 heures
Calculatrice: interdite
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

En 2026, la première partie était un QCM. À partir de 2027, elle devient une liste de questions à réponses courtes : entraîne-toi à trouver le résultat sans t’aider des propositions.

Première partie : automatismes (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 1

Une forme factorisée de l’expression $9x^2 - \dfrac{1}{9}$ est :

\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)^2

\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)

\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)^2

\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)\left(9x + \dfrac{1}{3}\right)

Corrigé

$9x^2 = (3x)^2$ et $\dfrac{1}{9} = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2$ : c’est une différence de deux carrés, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = 3x$ et $b = \dfrac{1}{3}$ . Donc $9x^2 - \dfrac{1}{9} = \left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)$ . Réponse b. La réponse a donne, une fois développée, $9x^2 - 2x + \dfrac{1}{9}$ ; la réponse d donne $81x^2 - \dfrac{1}{9}$ .

Question 2

On considère la relation $E = \dfrac{x - y}{zt}$ . Lorsque $x = 3$ , $y = -2$ , $z = -3$ , $t = -4$ , on a :

E = \dfrac{1}{12}

E = -\dfrac{5}{12}

E = \dfrac{5}{12}

E = -\dfrac{1}{12}

Corrigé

Numérateur : $3 - (-2) = 3 + 2 = 5$ . Dénominateur : $(-3) \times (-4) = 12$ (produit de deux négatifs, donc positif). $E = \dfrac{5}{12}$ . Réponse c.

Question 3

On considère une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-5 \,;\, 9]$ . On a représenté ci-dessous sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Courbe de f sur [−5 ; 9] : elle part du point (−5 ; 3), coupe l’axe des abscisses en −3, descend jusqu’au minimum −2 atteint en −1, remonte en coupant l’axe en 2 jusqu’au maximum 2 atteint en 4, recoupe l’axe en 6 et redescend jusqu’au point (9 ; −2)

On note $A = \dfrac{f(-4)}{f(-1)}$ . Laquelle de ces propositions est vraie ?

A = 0

A < 0

A > 0

dOn ne peut pas connaître le signe de

A

Corrigé

En $x = -4$ , la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses : $f(-4) > 0$ . En $x = -1$ , on lit $f(-1) = -2 < 0$ . Un quotient d’un positif par un négatif est négatif : $A < 0$ . Réponse b. Pas besoin de la valeur exacte de $f(-4)$ , seul son signe compte.

Question 4

On considère l’inéquation sur $\mathbb{R}$ : $(I) \quad -2x + 2 \geq 0$ . On note $S$ l’ensemble des solutions de l’inéquation $(I)$ . On peut affirmer que :

S = \left]-\infty \,;\, 1\right]

S = [1 \,;\, +\infty\mathclose{[}

S = [-1 \,;\, +\infty\mathclose{[}

S = \left]-\infty \,;\, -1\right]

Corrigé

$-2x + 2 \geq 0 \iff 2 \geq 2x \iff x \leq 1$ . Donc $S = \left]-\infty \,;\, 1\right]$ . Réponse a. Si tu divises par $-2$ , pense à changer le sens de l’inégalité : $-2x \geq -2 \iff x \leq 1$ .

Question 5

On considère ci-dessous le tableau de signes d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ .

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -3 & & 2 & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

Une expression possible de $f(x)$ est :

f(x) = (x + 3)(2 - x)

f(x) = (x + 2)(x - 3)

f(x) = (x - 2)(x + 3)

f(x) = (x + 2)(3 + x)

Corrigé

$f$ s’annule en $-3$ et en $2$ : il faut les facteurs $(x + 3)$ et $(x - 2)$ , ce qui élimine b et d (racines $-2$ et $3$ , ou $-2$ et $-3$ ). Reste a et c. Le trinôme est positif à l’extérieur des racines : son coefficient de $x^2$ est positif. Dans c, $(x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$ , coefficient $1 > 0$ : il convient. Dans a, le coefficient de $x^2$ est $-1$ , le signe serait « $-$ , $0$ , $+$ , $0$ , $-$ ». Réponse c.

Question 6

Le prix d’un article baisse de $50\,\%$ puis augmente de $40\,\%$ . Ces deux variations sont équivalentes à :

aune baisse de

0\,\%

bune baisse de

70\,\%

cune baisse de

10\,\%

dune baisse de

30\,\%

Corrigé

On multiplie les coefficients multiplicateurs : $0{,}5 \times 1{,}4 = 0{,}7$ . Multiplier par $0{,}7$ , c’est baisser de $30\,\%$ . Réponse d. On n’additionne pas les pourcentages ( $-50 + 40 = -10$ est le piège de la réponse c).

Question 7

On s’intéresse aux adhérents d’une association. On sait que $40\,\%$ d’entre eux sont des hommes et qu’il y a $30$ femmes. Le nombre total d’adhérents de cette association est égal à :

70

40

75

50

Corrigé

Les femmes représentent $100\,\% - 40\,\% = 60\,\%$ des adhérents. Si $60\,\%$ correspondent à $30$ personnes, alors $10\,\%$ correspondent à $5$ personnes et $100\,\%$ à $50$ . Réponse d. Contrôle : $40\,\%$ de $50$ font $20$ hommes, et $20 + 30 = 50$ .

Question 8

On considère un réel $a$ quelconque, différent de $0$ . Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?

\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^3

\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{15}

\left(a^{10}\right)^3 = a^{13}

\dfrac{a \times a^5}{a^2} = a^4

Corrigé

$\dfrac{a \times a^5}{a^2} = \dfrac{a^{1 + 5}}{a^2} = a^{6 - 2} = a^4$ . Réponse d. Les autres sont fausses : $\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^{8 - (-5)} = a^{13}$ , $\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{28}$ (on soustrait les exposants, on ne les divise pas) et $\left(a^{10}\right)^3 = a^{30}$ (on multiplie les exposants).

Deuxième partie, exercice 1 : valeur d’une voiture (5 points)

On s’intéresse à l’évolution de la valeur d’une voiture. En janvier $2025$ , la valeur de la voiture est égale à $10\,000$ euros. On suppose qu’ensuite, chaque année, la valeur diminue de $10\,\%$ .

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l’année $2025 + n$ . On a donc $u_0 = 10\,000$ .

1. a. Calculer la valeur de la voiture en janvier $2026$ .

1. b. Justifier que pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n$ .

2. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.

3. a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$ .

3. b. En déduire la valeur de la voiture en janvier $2030$ . On pourra s’aider de l’aide au calcul ci-dessous.

Aide au calcul : $0{,}9^4 = 0{,}6561$ ; $0{,}9^5 = 0{,}59049$ ; $0{,}9^6 = 0{,}531441$ .

4. On considère le programme Python ci-dessous. Recopier et compléter ce programme afin qu’il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < A$ , où $A$ est un nombre réel strictement positif.

def seuil(A) :
    N = 0
    U = 10000
    while ......... :
        U = .......
        N = N+1
    return N

5. L’exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$ , donne les résultats suivants :

>>> seuil(7500)
3
>>> seuil(5000)
7
>>> seuil(2500)
14
>>> seuil(2000)
16

5. a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel seuil(5000).

5. b. Déterminer, en expliquant la démarche, l’année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Corrigé de l’exercice 1

1. a. Baisser de $10\,\%$ , c’est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}9$ : $u_1 = 0{,}9 \times 10\,000 = 9\,000$ . En janvier $2026$ , la voiture vaut $9\,000$ euros.

1. b. Chaque année, la valeur diminue de $10\,\%$ : la valeur de l’année suivante s’obtient en multipliant celle de l’année en cours par $0{,}9$ . Donc, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n - \dfrac{10}{100}u_n = 0{,}9\,u_n$ .

2. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $0{,}9$ : la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}9$ et de premier terme $u_0 = 10\,000$ .

3. a. Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \times q^n$ , donc pour tout entier naturel $n$ :

u_n = 10\,000 \times 0{,}9^n

3. b. Janvier $2030$ correspond à $n = 2030 - 2025 = 5$ . Avec l’aide au calcul :

u_5 = 10\,000 \times 0{,}9^5 = 10\,000 \times 0{,}59049 = 5\,904{,}9

En janvier $2030$ , la voiture vaut $5\,904{,}90$ euros.

4. On répète tant que la valeur n’est pas encore passée sous $A$ , c’est-à-dire tant que $U \geq A$ , et à chaque tour on applique la baisse de $10\,\%$ :

def seuil(A) :
    N = 0
    U = 10000
    while U >= A :
        U = 0.9*U
        N = N+1
    return N

La boucle s’arrête dès que $U < A$ : N est alors le plus petit rang $n$ tel que $u_n < A$ .

5. a. seuil(5000) renvoie $7$ : $7$ est le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 5\,000$ . Autrement dit, c’est en janvier $2025 + 7 = 2032$ que la valeur de la voiture passe pour la première fois sous $5\,000$ euros, soit moins de la moitié de sa valeur initiale.

5. b. Perdre plus des trois quarts de sa valeur initiale, c’est valoir moins d’un quart de $10\,000$ euros, soit $u_n < 2\,500$ . Le plus petit $n$ qui convient est donné par seuil(2500), qui renvoie $14$ . C’est donc à partir de janvier $2025 + 14 = 2039$ que la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Deuxième partie, exercice 2 : spectateurs d’un cinéma (5 points)

On s’intéresse à l’ensemble des spectateurs d’un cinéma. On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de $18$ ans ou moins. On désigne par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d’établir les résultats suivants :

$60\,\%$ des spectateurs sont abonnés ;
parmi les spectateurs abonnés, $40\,\%$ sont jeunes ;
parmi les spectateurs n’étant pas abonnés, $20\,\%$ sont jeunes.

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants : $\text{A}$ : « le spectateur est abonné » ; $\text{J}$ : « le spectateur est jeune ».

1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

Arbre pondéré à compléter : branches A et A barre depuis la racine, puis J et J barre après chacune ; des pointillés sur les six branches

2. Calculer la probabilité $P(\text{A} \cap \text{J})$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Démontrer que $P(\text{J}) = 0{,}32$ .

4. On considère l’affirmation suivante : « Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d’une chance sur deux qu’il soit abonné ». Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

5. Le prix d’une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :

un spectateur non abonné paie sa place $5$ euros, quel que soit son âge ;
un spectateur abonné et n’étant pas jeune paie sa place $2$ euros ;
un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c’est gratuit.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu’il doit payer pour sa place de cinéma.

5. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .

5. b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Corrigé de l’exercice 2

1. $P(\text{A}) = 0{,}6$ et $P(\overline{\text{A}}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ ; après $\text{A}$ : $P_{\text{A}}(\text{J}) = 0{,}4$ et $P_{\text{A}}(\overline{\text{J}}) = 0{,}6$ ; après $\overline{\text{A}}$ : $P_{\overline{\text{A}}}(\text{J}) = 0{,}2$ et $P_{\overline{\text{A}}}(\overline{\text{J}}) = 0{,}8$ .

2. $P(\text{A} \cap \text{J}) = P(\text{A}) \times P_{\text{A}}(\text{J}) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24$ . Il y a $24\,\%$ de chances que le spectateur interrogé soit à la fois abonné et jeune : $24\,\%$ des spectateurs sont des jeunes abonnés.

3. $\text{A}$ et $\overline{\text{A}}$ forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

P(\text{J}) = P(\text{A} \cap \text{J}) + P(\overline{\text{A}} \cap \text{J}) = 0{,}24 + 0{,}4 \times 0{,}2 = 0{,}24 + 0{,}08 = 0{,}32

4. On cherche la probabilité qu’il soit abonné sachant qu’il est jeune :

P_{\text{J}}(\text{A}) = \dfrac{P(\text{A} \cap \text{J})}{P(\text{J})} = \dfrac{0{,}24}{0{,}32} = \dfrac{24}{32} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75

$0{,}75 > 0{,}5$ : l’affirmation est exacte, il y a trois chances sur quatre qu’un spectateur jeune soit abonné.

5. a. $X$ prend les valeurs $0$ , $2$ et $5$ :

$P(X = 0) = P(\text{A} \cap \text{J}) = 0{,}24$ ;
$P(X = 2) = P(\text{A} \cap \overline{\text{J}}) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$ ;
$P(X = 5) = P(\overline{\text{A}}) = 0{,}4$ .

\begin{array}{c|ccc} x_i & 0 & 2 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}24 & 0{,}36 & 0{,}4 \end{array}

Contrôle : $0{,}24 + 0{,}36 + 0{,}4 = 1$ .

5. b.

E(X) = 0 \times 0{,}24 + 2 \times 0{,}36 + 5 \times 0{,}4 = 0 + 0{,}72 + 2 = 2{,}72

En moyenne, sur un grand nombre de spectateurs, une place rapporte $2{,}72$ euros au cinéma.

Deuxième partie, exercice 3 : vrai ou faux (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Les deux questions sont indépendantes.

1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé on considère les points $A(2 \,;\, 0)$ , $B(3 \,;\, 2)$ et $C(0 \,;\, 4)$ .
Affirmation : les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 1)\mathrm{e}^{x}$ . On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2. a. Affirmation : la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

2. b. Affirmation : la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = 2x - 1$ .

Corrigé de l’exercice 3

1. Fausse. $\overrightarrow{AB}\,(3 - 2 \,;\, 2 - 0) = \overrightarrow{AB}\,(1 \,;\, 2)$ et $\overrightarrow{AC}\,(0 - 2 \,;\, 4 - 0) = \overrightarrow{AC}\,(-2 \,;\, 4)$ . Dans un repère orthonormé :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-2) + 2 \times 4 = -2 + 8 = 6

Le produit scalaire n’est pas nul : les vecteurs ne sont pas orthogonaux, donc les droites $(AB)$ et $(AC)$ ne sont pas perpendiculaires.

2. a. Fausse. $f = uv$ avec $u(x) = 3x - 1$ , $u'(x) = 3$ , $v(x) = \mathrm{e}^{x}$ , $v'(x) = \mathrm{e}^{x}$ . Donc :

f'(x) = 3\mathrm{e}^{x} + (3x - 1)\mathrm{e}^{x} = (3x + 2)\mathrm{e}^{x}

Comme $\mathrm{e}^{x} > 0$ , $f'(x)$ a le signe de $3x + 2$ , qui est strictement négatif pour $x < -\dfrac{2}{3}$ . Par exemple, $f'(-1) = -\mathrm{e}^{-1} < 0$ . La fonction $f$ est décroissante sur $\left]-\infty \,;\, -\dfrac{2}{3}\right]$ : elle n’est pas croissante sur $\mathbb{R}$ .

2. b. Vraie. $f(0) = (0 - 1)\mathrm{e}^{0} = -1$ et $f'(0) = (0 + 2)\mathrm{e}^{0} = 2$ . La tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$ , soit $y = 2x - 1$ .

Sujet officiel

26-MATSPEGEAG1 · session 2026

Baccalauréat général 2026, mathématiques, épreuve anticipée, candidats avec enseignement de spécialité, vendredi 12 juin 2026, Antilles-GuyanePDF officiel ↗