Épreuve anticipée · session 2026 · Avec spécialité maths, Amérique du Nord

Épreuve anticipée de maths 2026, avec spécialité (Amérique du Nord) : sujet et corrigé

Le sujet d’Amérique du Nord pour les élèves de spécialité maths : 9 automatismes, jeu forain et espérance, panneaux solaires et suite géométrique, étude d’une fonction.

Durée: 2 heures
Calculatrice: interdite
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

En 2026, la première partie était un QCM. À partir de 2027, elle devient une liste de questions à réponses courtes : entraîne-toi à trouver le résultat sans t’aider des propositions.

Première partie : automatismes (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 1

Le nombre $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \times 4$ est égal à :

8

\dfrac{13}{2}

4

\dfrac{16}{8}

Corrigé

La multiplication est prioritaire : $\dfrac{3}{2} \times 4 = \dfrac{12}{2} = 6$ , puis $\dfrac{1}{2} + 6 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{12}{2} = \dfrac{13}{2}$ . Réponse B. La réponse A vient d’une addition faite avant la multiplication : $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\right) \times 4 = 2 \times 4 = 8$ .

Question 2

Le volume de la partie visible d’un iceberg est d’environ $10\,\%$ de son volume total. Si la partie visible d’un iceberg est de $150$ km³, quel sera le volume total de cet iceberg ?

1\,350

km³

1\,500

km³

15

km³

135

km³

Corrigé

$10\,\%$ du volume total, c’est un dixième de ce volume. Le volume total est donc dix fois la partie visible : $150 \times 10 = 1\,500$ km³. Réponse B. La réponse C ( $15$ km³) correspond à $10\,\%$ de $150$ , c’est le calcul à l’envers.

Question 3

Le prix d’un article est multiplié par $0{,}845$ . Cela signifie que le prix de cet article a :

Aaugmenté de

84{,}5\,\%

Bbaissé de

1{,}55\,\%

Caugmenté de

15{,}5\,\%

Dbaissé de

15{,}5\,\%

Corrigé

Le coefficient multiplicateur $0{,}845$ est inférieur à $1$ : c’est une baisse. Son taux est $0{,}845 - 1 = -0{,}155$ , soit $-15{,}5\,\%$ . Réponse D.

Question 4

On considère la fonction $\mathrm{A}$ définie pour tout réel $x$ par :

\mathrm{A}(x) = (x + 5)(x + 8)

Le tableau de signes de $\mathrm{A}(x)$ sur $\mathbb{R}$ est :

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -8 & & -5 & & +\infty \\ \hline \mathrm{A}(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \end{array}

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -5 & & +\infty \\ \hline \mathrm{A}(x) & & - & 0 & + & \end{array}

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -8 & & -5 & & +\infty \\ \hline \mathrm{A}(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 5 & & 8 & & +\infty \\ \hline \mathrm{A}(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}

Corrigé

$\mathrm{A}(x)$ s’annule pour $x = -5$ et pour $x = -8$ (et non pour $5$ et $8$ , ce qui élimine D). En développant, on obtient un polynôme du second degré de coefficient $a = 1 > 0$ : il est du signe de $a$ , donc positif, à l’extérieur des racines, et négatif entre les racines. Contrôle : pour $x = -6$ , $\mathrm{A}(-6) = (-1) \times 2 = -2 < 0$ . Réponse C.

Question 5

Un singe choisit une lettre au hasard parmi les lettres de l’alphabet. On note les évènements :

$V$ : « Le singe choisit une voyelle. »
$M$ : « Le singe choisit une des lettres du mot SINGE. »

Rappel : l’alphabet est constitué de 26 lettres dont les voyelles sont : A, E, I, O, U, Y.

On note $P_M(V)$ la probabilité que le singe choisisse une voyelle sachant qu’il a choisi une lettre du mot SINGE. On peut alors affirmer que $P_M(V)$ vaut :

\dfrac{6}{26}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{2}{6}

\dfrac{5}{6}

Corrigé

Sachant que la lettre est l’une des $5$ lettres du mot SINGE (S, I, N, G, E, toutes différentes), on raisonne sur ces $5$ lettres seulement. Deux d’entre elles sont des voyelles : I et E. Donc $P_M(V) = \dfrac{2}{5}$ . Réponse B. La réponse A est $P(V)$ , sans condition.

Question 6

Soit $f$ une fonction affine, dont on a tracé la représentation graphique dans le repère ci-dessous.

Droite décroissante qui passe par le point (0 ; 30) de l’axe des ordonnées et par le point (3 ; 0) de l’axe des abscisses, tous deux marqués d’une croix

Une expression algébrique de $f$ est :

f(x) = -x + 30

f(x) = 30x + 3

f(x) = -10x + 30

f(x) = -\dfrac{1}{10}x + 30

Corrigé

La droite passe par $(0 \,;\, 30)$ : l’ordonnée à l’origine est $30$ . Elle passe aussi par $(3 \,;\, 0)$ , donc son coefficient directeur est $\dfrac{0 - 30}{3 - 0} = -10$ : $f(x) = -10x + 30$ . Réponse C. Attention aux unités différentes sur les deux axes : la droite paraît peu pentue, mais elle descend de $10$ quand $x$ augmente de $1$ .

Question 7

La forme développée et réduite de l’expression $(x + 2)^2 - (1 - x)^2$ vaut :

2x^2 + 3

6x + 3

2x + 5

2x^2 + 2x + 3

Corrigé

$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ et $(1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$ . On soustrait le second en entier (parenthèses !) :

x^2 + 4x + 4 - 1 + 2x - x^2 = 6x + 3

Réponse B. Les $x^2$ s’annulent, ce qui élimine A et D.

Question 8

L’équation $2(x - 4) - (2x + 1) = 0$ admet :

ADeux solutions :

4

\dfrac{1}{2}

BDeux solutions :

4

-\dfrac{1}{2}

CAucune solution

DUne infinité de solutions

Corrigé

Ce n’est pas une équation produit : on développe. $2x - 8 - 2x - 1 = -9$ , donc l’équation s’écrit $-9 = 0$ , ce qui est toujours faux. Réponse C. Les réponses A et B viennent d’une confusion avec l’équation produit $2(x - 4)(2x + 1) = 0$ .

Question 9

On considère le nombre réel : $\mathrm{E} = \dfrac{2 \times 3^2}{27 \times 2^3}$ . On peut affirmer que $\mathrm{E}$ est égal à :

\dfrac{1}{9}

\dfrac{1}{12}

12

\dfrac{1}{6}

Corrigé

$27 = 3^3$ , donc :

\mathrm{E} = \dfrac{2 \times 3^2}{3^3 \times 2^3} = \dfrac{1}{3 \times 2^2} = \dfrac{1}{12}

Réponse B. Contrôle : $\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12}$ car $18 \times 12 = 216$ .

Deuxième partie, exercice 1 : jeu de fête foraine (6 points)

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.

Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d’abord payer $1$ euro. Ensuite :

le joueur tire une première boule qu’il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l’urne ;
le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l’urne.

Voici les récompenses qu’il obtient :

si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit $3$ euros ;
si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit $1$ euro ;
sinon il ne reçoit pas d’argent.

Partie A

Dans cette partie, on considère que cette urne contient $1$ boule rouge et $9$ boules vertes.

On note :

$R_1$ l’événement : « La première boule tirée est rouge. »
$R_2$ l’événement : « La deuxième boule tirée est rouge. »

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.

Arbre pondéré à compléter : depuis la racine, branches vers R1 et R1 barre ; de chacun, branches vers R2 et R2 barre ; pointillés sur les six branches

2. On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de $1$ euro.

2. a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ .

2. b. Montrer que $P(X = -1) = \dfrac{18}{100}$ .

2. c. Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :

$k$
$P(X = k)$

2. d. Calculer l’espérance de $X$ . Interpréter le résultat.

Corrigé de la partie A

1. L’urne contient $1$ boule rouge sur $10$ , et la boule est remise après chaque tirage : la composition de l’urne est la même aux deux tirages. Donc $P(R_1) = 0{,}1$ , $P(\overline{R_1}) = 0{,}9$ , et sur chacune des deux branches du second niveau : $P_{R_1}(R_2) = P_{\overline{R_1}}(R_2) = 0{,}1$ et $P_{R_1}(\overline{R_2}) = P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2}) = 0{,}9$ .

2. a. Trois cas :

deux boules rouges : le joueur reçoit $3$ €, son gain est $3 - 1 = 2$ ;
deux boules vertes : il reçoit $1$ €, son gain est $1 - 1 = 0$ ;
une boule de chaque couleur : il ne reçoit rien, son gain est $-1$ .

$X$ prend donc les valeurs $-1$ , $0$ et $2$ .

2. b. $X = -1$ quand les deux boules sont de couleurs différentes, c’est-à-dire pour les chemins $R_1 \cap \overline{R_2}$ et $\overline{R_1} \cap R_2$ :

P(X = -1) = 0{,}1 \times 0{,}9 + 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}09 + 0{,}09 = 0{,}18 = \dfrac{18}{100}

2. c. $P(X = 2) = P(R_1 \cap R_2) = 0{,}1 \times 0{,}1 = \dfrac{1}{100}$ et $P(X = 0) = P(\overline{R_1} \cap \overline{R_2}) = 0{,}9 \times 0{,}9 = \dfrac{81}{100}$ .

$k$	$-1$	$0$	$2$
$P(X = k)$	$\dfrac{18}{100}$	$\dfrac{81}{100}$	$\dfrac{1}{100}$

Contrôle : $18 + 81 + 1 = 100$ , la somme des probabilités vaut bien $1$ .

2. d.

E(X) = -1 \times \dfrac{18}{100} + 0 \times \dfrac{81}{100} + 2 \times \dfrac{1}{100} = \dfrac{-18 + 2}{100} = -\dfrac{16}{100} = -0{,}16

Interprétation : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $0{,}16$ €, soit $16$ centimes, par partie. Le jeu est favorable au forain.

Partie B

Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant $n$ boules rouges et $10 - n$ boules vertes où $n$ est un nombre entier naturel avec $0 \leq n \leq 10$ .

On note $Y$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.

1. Démontrer que $E(Y) = \dfrac{4n^2 - 20n}{100}$ .
On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.

2. Pour combien de boules rouges dans l’urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?

Corrigé de la partie B

1. On reprend l’arbre de la partie A avec les nouvelles probabilités. À chaque tirage (avec remise), la probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{n}{10}$ et celle de tirer une boule verte est $\dfrac{10 - n}{10}$ . $Y$ prend les mêmes valeurs que $X$ :

$P(Y = 2) = \dfrac{n}{10} \times \dfrac{n}{10} = \dfrac{n^2}{100}$ ;
$P(Y = 0) = \dfrac{10 - n}{10} \times \dfrac{10 - n}{10} = \dfrac{(10 - n)^2}{100}$ ;
$P(Y = -1) = 2 \times \dfrac{n}{10} \times \dfrac{10 - n}{10} = \dfrac{2n(10 - n)}{100} = \dfrac{20n - 2n^2}{100}$ (deux chemins de même probabilité).

Le terme $0 \times P(Y = 0)$ est nul, donc :

E(Y) = 2 \times \dfrac{n^2}{100} - 1 \times \dfrac{20n - 2n^2}{100} = \dfrac{2n^2 - 20n + 2n^2}{100} = \dfrac{4n^2 - 20n}{100}

Contrôle avec la partie A : pour $n = 1$ , $E(Y) = \dfrac{4 - 20}{100} = -0{,}16$ , c’est bien $E(X)$ .

2. Le jeu est équitable quand l’espérance du gain est nulle :

E(Y) = 0 \iff 4n^2 - 20n = 0 \iff 4n(n - 5) = 0 \iff n = 0 \text{ ou } n = 5

Les deux valeurs sont des entiers entre $0$ et $10$ : le jeu est équitable avec $0$ ou $5$ boules rouges. Le cas $n = 0$ est sans intérêt pour le forain : l’urne ne contient que des boules vertes, le joueur récupère toujours son euro et ne gagne ni ne perd jamais. Le cas intéressant est donc $n = 5$ ( $5$ boules rouges et $5$ vertes).

Deuxième partie, exercice 2 : panneaux solaires (4 points)

Pour réduire sa facture d’électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison. Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.

Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l’heure par une fonction $f$ . On admet que $f$ est définie sur $[0 \,;\, 24]$ et on donne sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ ci-dessous.

Courbe en cloche de la puissance électrique (en kW) en fonction de l’horaire de la journée, de 0 à 24 h, quadrillage d’une demi-unité : presque nulle jusqu’à 7 h, elle monte à 6 kW à 11 h, atteint son maximum de 8 kW à 13 h, puis redescend de façon symétrique et redevient presque nulle après 20 h

Avec la précision permise par le graphique :

1. Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11 h 00.

2. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x) \geq 5$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

Corrigé de la partie A

1. On lit l’ordonnée du point de $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $11$ : $f(11) \approx 6$ . À 11 h, la puissance des panneaux est d’environ $6$ kW.

2. On trace la droite horizontale d’équation $y = 5$ : elle coupe la courbe en deux points, d’abscisses environ $10{,}5$ et $15{,}5$ . La courbe est au-dessus de cette droite entre ces deux abscisses, donc l’ensemble des solutions est environ $[10{,}5 \,;\, 15{,}5]$ .

Interprétation : lors d’une belle journée, les panneaux fournissent une puissance d’au moins $5$ kW entre 10 h 30 et 15 h 30 environ (attention : $10{,}5$ h, c’est 10 h 30, pas 10 h 50).

Partie B

Le coût pour $1$ kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de $0{,}15$ € en 2020. On admet que ce tarif réglementé augmente de $6\,\%$ chaque année.

On note $c_n$ le coût en euros (€) pour $1$ kWh consommé durant l’année $2020 + n$ , avec $n$ un entier naturel. On a alors $c_0 = 0{,}15$ .

1. Déterminer la nature de la suite $(c_n)$ . On précisera sa raison.

2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $c_n$ en fonction de $n$ .

3. Donner le calcul permettant d’obtenir le coût pour $1$ kWh consommé en 2030.
Il n’est pas demandé d’effectuer ce calcul.

4. On admet que, chaque année depuis 2020, l’utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d’éviter l’achat de $2\,000$ kWh par an. L’installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille $7\,000$ €. On considère le programme Python ci-dessous.

n = 0
c = 0.15
S = 0
while S < 7000 :
    S = S + c*2000
    n = n+1
    c = 1.06*c
print(n)

4. a. Dans le contexte de l’énoncé, que représentent les variables c et S du programme ?

4. b. On exécute le programme ci-dessus. Il affiche $16$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

Corrigé de la partie B

1. Augmenter de $6\,\%$ , c’est multiplier par $1 + \dfrac{6}{100} = 1{,}06$ . Pour tout entier naturel $n$ , $c_{n+1} = 1{,}06 \times c_n$ : la suite $(c_n)$ est géométrique, de raison $q = 1{,}06$ et de premier terme $c_0 = 0{,}15$ .

2. Pour une suite géométrique, $c_n = c_0 \times q^n$ , donc pour tout entier naturel $n$ :

c_n = 0{,}15 \times 1{,}06^n

3. 2030 correspond à $n = 2030 - 2020 = 10$ . Le coût d’un kWh en 2030 est :

c_{10} = 0{,}15 \times 1{,}06^{10}

(soit environ $0{,}27$ € ; ce calcul n’était pas demandé, et il serait long à faire sans calculatrice).

4. a. Au début de chaque passage dans la boucle, n est le nombre d’années écoulées depuis 2020 et c est le coût en euros d’un kWh pendant l’année $2020 + n$ , c’est-à-dire $c_n$ (la dernière ligne de la boucle le multiplie par $1{,}06$ pour passer à l’année suivante). S est la somme totale économisée par Camille depuis 2020, en euros : chaque année, elle évite d’acheter $2\,000$ kWh au prix $c$ , donc elle économise c*2000 euros, que l’on ajoute à S.

4. b. La boucle tourne tant que les économies cumulées sont inférieures aux $7\,000$ € de l’installation. Le programme affiche $16$ : il faut $16$ années (de 2020 à 2035) pour que les économies atteignent ou dépassent $7\,000$ €, alors qu’elles restaient sous $7\,000$ € au bout de $15$ ans. L’installation de Camille est donc rentabilisée au cours de l’année 2035, la seizième année d’utilisation.

Deuxième partie, exercice 3 : étude d’une fonction (4 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = (4x - 4)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} + 5

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f'(x) = (-2x + 6)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ .

2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

3. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.

Corrigé de l’exercice 3

1. $f$ est de la forme $u \times v + 5$ avec $u(x) = 4x - 4$ et $v(x) = \mathrm{e}^{-0{,}5x}$ . On a $u'(x) = 4$ et, comme la dérivée de $\mathrm{e}^{ax + b}$ est $a\,\mathrm{e}^{ax + b}$ , $v'(x) = -0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}$ . La constante $5$ a une dérivée nulle, donc :

f'(x) = 4\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} + (4x - 4) \times \left(-0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}\right) = (4 - 2x + 2)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x} = (-2x + 6)\,\mathrm{e}^{-0{,}5x}

2. Pour tout réel $x$ , $\mathrm{e}^{-0{,}5x} > 0$ : $f'(x)$ est du signe de $-2x + 6$ . Or $-2x + 6 > 0 \iff x < 3$ , et $-2x + 6 = 0 \iff x = 3$ .

On calcule $f(3) = (12 - 4)\,\mathrm{e}^{-1{,}5} + 5 = 8\,\mathrm{e}^{-1{,}5} + 5$ .

\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f & & \nearrow & 8\,\mathrm{e}^{-1{,}5} + 5 & \searrow & \end{array}

$f$ est croissante sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, 3]$ et décroissante sur $[3 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ : elle admet un maximum en $x = 3$ .

3. La tangente au point d’abscisse $a$ est horizontale quand son coefficient directeur $f'(a)$ est nul. D’après la question 2, $f'(x) = 0$ a une seule solution, $x = 3$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc un seul point à tangente horizontale, le point de coordonnées :

\left(3 \,;\, 8\,\mathrm{e}^{-1{,}5} + 5\right)

C’est le sommet de la courbe, qui correspond au maximum de $f$ (son ordonnée vaut environ $6{,}8$ ).

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