Épreuve anticipée · session 2026 · Sans spécialité maths, centres étrangers du groupe 1

Épreuve anticipée de maths 2026, sans spécialité (centres étrangers) : sujet et corrigé

Le sujet 2026 des centres étrangers sans spécialité maths : 12 automatismes, tableau croisé et indépendance, dérivée et variations, suites arithmétique et géométrique.

Durée: 2 heures
Calculatrice: interdite
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

En 2026, la première partie était un QCM. À partir de 2027, ce sont des questions à réponses courtes : entraîne-toi à trouver le résultat sans regarder les propositions.

Première partie : automatismes (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 1

On considère $A = 4 - 2 \times \dfrac{1}{3}$ . On a :

A = \dfrac{2}{3}

A = \dfrac{10}{3}

A = \dfrac{4}{3}

A = \dfrac{11}{3}

Corrigé

La multiplication passe avant la soustraction : $2 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ , puis $A = \dfrac{12}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3}$ . Réponse b. Le piège $\dfrac{2}{3}$ vient de $(4 - 2) \times \dfrac{1}{3}$ , qui ne respecte pas les priorités.

Question 2

On considère $B = 2 \times 5^2 + 3$ . On a :

B = 103

B = 53

B = 97

B = 23

Corrigé

La puissance d’abord : $5^2 = 25$ . Puis $B = 2 \times 25 + 3 = 50 + 3 = 53$ . Réponse b. Calculer $10^2 + 3 = 103$ , c’est élever $2 \times 5$ au carré : erreur classique.

Question 3

$25\,\%$ de $250$ est égal à :

62{,}5

125

50

225

Corrigé

Prendre $25\,\%$ , c’est prendre le quart : $250 \div 4 = 62{,}5$ (la moitié de $250$ est $125$ , la moitié de $125$ est $62{,}5$ ). Réponse a.

Question 4

Un article coûtant $300$ € subit une baisse de $15\,\%$ . Pour obtenir le prix de cet article après la baisse, il faut faire le calcul :

300 - 0{,}15

300 \times 0{,}85

300 \times 1{,}15

300 \times 0{,}15

Corrigé

Baisser de $15\,\%$ , c’est multiplier par le coefficient $1 - 0{,}15 = 0{,}85$ . Réponse b. Le calcul d donne le montant de la baisse ( $45$ €), pas le nouveau prix ; le calcul c correspond à une hausse de $15\,\%$ .

Question 5

Dans un repère du plan, on a représenté la droite $(AB)$ . L’équation réduite de la droite $(AB)$ est :

Repère du plan avec la droite (AB) : A est sur l’axe des ordonnées au point (0 ; 2), B sur l’axe des abscisses au point (4 ; 0)

y = 4x + 2

y = -2x + 2

y = 2x + 4

y = -0{,}5x + 2

Corrigé

On lit $A(0 \,;\, 2)$ et $B(4 \,;\, 0)$ . L’ordonnée à l’origine vaut $2$ (point $A$ ) et le coefficient directeur vaut

m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{0 - 2}{4 - 0} = -\dfrac{2}{4} = -0{,}5

d’où $y = -0{,}5x + 2$ . Réponse d. Vérification avec $B$ : $-0{,}5 \times 4 + 2 = 0$ .

Question 6

La valeur de l’expression $2x^2 - 3x - 4$ pour $x = -1$ est :

-9

-3

-5

1

Corrigé

$(-1)^2 = 1$ , donc $2 \times 1 - 3 \times (-1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1$ . Réponse d.

Question 7

L’expression $(x - 4)^2$ est égale à :

x^2 - 8x + 16

x^2 + 8x + 16

x^2 - 8x - 16

x^2 + 8x - 16

Corrigé

Identité remarquable $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 4$ : $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$ . Réponse a. Le dernier terme est un carré, donc toujours positif : cela élimine c et d.

Question 8

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-6 \,;\, 5]$ .

Courbe d’une fonction f définie sur [−6 ; 5] : elle part de (−6 ; 0,6), passe par (−5 ; 3), monte jusqu’à un maximum d’environ 4,1 vers x = −3,6, redescend en passant par (−2 ; 3) et par l’origine, atteint un minimum de −3 en x = 3, puis remonte jusqu’à environ −0,5 en x = 5

L’ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l’inéquation $f(x) \geq 3$ est :

\mathcal{S} = [-6 \,;\, -5] \cup [-2 \,;\, 5]

\mathcal{S} = \{-5 \,;\, -2\}

\mathcal{S} = [-5 \,;\, -2]

\mathcal{S} = \{-3\}

Corrigé

On cherche les abscisses des points de la courbe situés sur ou au-dessus de la droite horizontale d’équation $y = 3$ . La courbe coupe cette droite en $x = -5$ et $x = -2$ , et elle est au-dessus entre les deux. Donc $\mathcal{S} = [-5 \,;\, -2]$ . Réponse c.

La réponse b donne les solutions de l’équation $f(x) = 3$ , pas de l’inéquation ; la réponse a correspond à $f(x) \leq 3$ .

Question 9

L’ensemble $\mathcal{S}$ des solutions de l’équation $(2x + 4)(-3x - 9) = 0$ est :

\mathcal{S} = \{-5\}

\mathcal{S} = \{-4 \,;\, 9\}

\mathcal{S} = \{-2 \,;\, 3\}

\mathcal{S} = \{-3 \,;\, -2\}

Corrigé

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

$2x + 4 = 0 \iff 2x = -4 \iff x = -2$ ;
$-3x - 9 = 0 \iff -3x = 9 \iff x = -3$ .

$\mathcal{S} = \{-3 \,;\, -2\}$ . Réponse d.

Question 10

Soit la formule $F = G \times \dfrac{m_1 \times m_2}{R^2}$ . On a :

m_1 = \dfrac{F \times G}{R^2 \times m_2}

m_1 = \dfrac{F \times R^2}{G \times m_2}

m_1 = \sqrt{\dfrac{G \times R^2}{F \times m_2}}

m_1 = F \times R^2 \times G \times m_2

Corrigé

On isole $m_1$ : on multiplie les deux membres par $R^2$ , ce qui donne $F \times R^2 = G \times m_1 \times m_2$ , puis on divise par $G \times m_2$ :

m_1 = \dfrac{F \times R^2}{G \times m_2}

Réponse b.

Questions 11 et 12

Pour les questions 11 et 12, $A$ et $B$ sont deux événements et on considère l’arbre pondéré suivant :

Arbre pondéré : de la racine partent les branches A et A barre, avec la probabilité 0,8 sur la branche A barre. De A partent B, avec la probabilité 0,3, et B barre. De A barre partent B et B barre, avec la probabilité 0,6 sur la branche B barre

Question 11. On a :

P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}3

P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}48

P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}8

P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}6

Corrigé

$P_{\overline{A}}(\overline{B})$ est la probabilité de $\overline{B}$ sachant $\overline{A}$ : c’est le poids inscrit sur la branche qui va de $\overline{A}$ à $\overline{B}$ , soit $0{,}6$ . Réponse d.

Le $0{,}48$ de la réponse b est $0{,}8 \times 0{,}6 = P(\overline{A} \cap \overline{B})$ , la probabilité du chemin entier, pas la probabilité conditionnelle.

Question 12. On a :

P_A(\overline{B}) = 0{,}3

P_A(\overline{B}) = 0{,}2

P_A(\overline{B}) = 0{,}14

P_A(\overline{B}) = 0{,}7

Corrigé

Les branches issues d’un même nœud ont des poids de somme $1$ . Depuis $A$ : $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$ , donc $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ . Réponse d.

Deuxième partie, exercice 1 (5 points)

Une compagnie aérienne mène une enquête de satisfaction auprès de ses clients. Les deux questions posées lors de cette enquête sont les suivantes :

« Avez-vous acheté votre billet d’avion en agence de voyage ou par internet ? » ;
« Êtes-vous satisfait des services proposés par notre compagnie ? ».

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

	Billet acheté par internet	Billet acheté en agence	Total
Satisfait	720	180	900
Pas satisfait	80	20	100
Total	800	200	1 000

On choisit au hasard un client ayant répondu aux deux questions. On considère les deux événements suivants :

$S$ : « Le client est satisfait » ;
$I$ : « Le client a acheté son billet par internet ».

Calculer la probabilité qu’un client soit satisfait.
Calculer la probabilité de l’événement $S \cap I$ . Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase.
Calculer $P_S(I)$ .
Les deux événements $I$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
Le service marketing de la compagnie aérienne affirme que $90\,\%$ des clients qui ont acheté leur billet en agence sont satisfaits. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

Corrigé de l’exercice 1

Le client est choisi au hasard : chaque probabilité est un effectif divisé par l’effectif de la population concernée.

1. $P(S) = \dfrac{900}{1\,000} = 0{,}9$ .

2. $S \cap I$ : « le client est satisfait et a acheté son billet par internet ».

P(S \cap I) = \dfrac{720}{1\,000} = 0{,}72

Interprétation : $72\,\%$ des clients interrogés ont acheté leur billet par internet et sont satisfaits.

3. On se restreint aux $900$ clients satisfaits :

P_S(I) = \dfrac{720}{900} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8

4. $P(I) = \dfrac{800}{1\,000} = 0{,}8$ . On a donc $P_S(I) = P(I)$ : les événements $I$ et $S$ sont indépendants.

Autre méthode : $P(S) \times P(I) = 0{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}72 = P(S \cap I)$ .

Concrètement, la proportion d’acheteurs par internet est la même chez les clients satisfaits ( $80\,\%$ ) que chez l’ensemble des clients ( $80\,\%$ ).

5. On se restreint aux $200$ clients qui ont acheté leur billet en agence ; $180$ d’entre eux sont satisfaits :

\dfrac{180}{200} = \dfrac{90}{100} = 0{,}9

Oui, $90\,\%$ des clients qui ont acheté leur billet en agence sont satisfaits : l’affirmation est exacte. C’est cohérent avec la question 4 : par indépendance, la proportion de satisfaits en agence est la même que dans l’ensemble ( $90\,\%$ ).

Deuxième partie, exercice 2 (4 points)

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 \,;\, 10]$ par : $f(x) = -x^3 + 4{,}5x^2 - 6x + 2$ .

Calculer l’expression de la dérivée $f'$ en fonction de $x$ .
Vérifier que, pour $x$ appartenant à $[0 \,;\, 10]$ , $f'(x) = (3x - 6)(1 - x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[0 \,;\, 10]$ .
En déduire les variations de $f$ sur $[0 \,;\, 10]$ . Les valeurs des éventuels maximums et minimums ne sont pas demandées.

Corrigé de l’exercice 2

1. On dérive terme à terme, avec $(x^n)' = nx^{n-1}$ :

f'(x) = -3x^2 + 4{,}5 \times 2x - 6 = -3x^2 + 9x - 6

2. On développe le produit :

(3x - 6)(1 - x) = 3x - 3x^2 - 6 + 6x = -3x^2 + 9x - 6

On retrouve bien $f'(x)$ .

3. On étudie le signe de chaque facteur :

$3x - 6 > 0 \iff x > 2$ : ce facteur est négatif avant $2$ , nul en $2$ , positif après ;
$1 - x > 0 \iff x < 1$ : ce facteur est positif avant $1$ , nul en $1$ , négatif après.

On applique la règle des signes dans un tableau :

\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & & 1 & & 2 & & 10 \\ \hline 3x - 6 & & - & | & - & 0 & + & \\ 1 - x & & + & 0 & - & | & - & \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \end{array}

Donc $f'(x) < 0$ sur $[0 \,;\, 1\mathclose{[}$ et sur $\mathopen{]}2 \,;\, 10]$ , $f'(x) > 0$ sur $\mathopen{]}1 \,;\, 2\mathclose{[}$ , et $f'(x) = 0$ pour $x = 1$ et $x = 2$ .

4. Le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$ :

$f$ est décroissante sur $[0 \,;\, 1]$ ;
$f$ est croissante sur $[1 \,;\, 2]$ ;
$f$ est décroissante sur $[2 \,;\, 10]$ .

\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & & 1 & & 2 & & 10 \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \end{array}

$f$ admet un minimum local en $x = 1$ et un maximum local en $x = 2$ (leurs valeurs ne sont pas demandées).

Deuxième partie, exercice 3 (5 points)

En 2025, dans une ville, le club de basketball comptait $900$ adhérents. On estime que chaque année, le club perd $10$ adhérents. On note $B_n$ le nombre d’adhérents au club de basket l’année $2025 + n$ .

Calculer $B_1$ et interpréter le résultat.
Exprimer $B_n$ en fonction de $n$ .
Justifier que le club aura perdu plus de $10\,\%$ de ses adhérents entre 2025 et 2035.

Dans cette même ville en 2025, le club de handball comptait $200$ adhérents. Pour les années suivantes, on estime que le nombre d’adhérents au club de handball peut être représenté par le graphique suivant :

Nuage de points du nombre d’adhérents au handball en fonction du nombre d’années depuis 2025, de 0 à 10 : environ 200, 240, 290, 345, 415, 500, 600, 715, 860, 1 030 et 1 240 adhérents

Par lecture graphique, estimer, avec la précision permise par le graphique, le nombre d’adhérents au club de handball en 2028.
On modélise le nombre d’adhérents au club de handball l’année $2025 + n$ par $H_n$ et on admet que, pour tout entier naturel $n$ , $H_{n+1} = 1{,}2 \times H_n$ . Quelle est la nature de la suite $(H_n)$ ? Préciser son premier terme et sa raison.
À partir de quelle année le nombre d’adhérents au club de handball sera supérieur au nombre d’adhérents au club de basketball ? Justifier la réponse.

Corrigé de l’exercice 3

1. $B_0 = 900$ et le club perd $10$ adhérents par an : $B_1 = 900 - 10 = 890$ . En 2026, le club de basketball compte $890$ adhérents.

2. On retire chaque année la même quantité : $(B_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $B_0 = 900$ et de raison $r = -10$ . Donc, pour tout entier naturel $n$ :

B_n = B_0 + nr = 900 - 10n

3. 2035, c’est $2025 + 10$ : $B_{10} = 900 - 10 \times 10 = 800$ . Entre 2025 et 2035, le club perd $900 - 800 = 100$ adhérents. Or $10\,\%$ de $900$ , c’est $90$ . Comme $100 > 90$ , le club aura bien perdu plus de $10\,\%$ de ses adhérents (exactement $\dfrac{100}{900} = \dfrac{1}{9}$ , soit environ $11\,\%$ ).

4. 2028, c’est $2025 + 3$ : on lit l’ordonnée du point d’abscisse $3$ . Il est juste en dessous de la graduation $350$ : le club de handball compte environ $350$ adhérents en 2028 (avec le modèle de la question 5, $H_3 = 345{,}6$ ).

5. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $1{,}2$ : $(H_n)$ est une suite géométrique de premier terme $H_0 = 200$ (adhérents en 2025) et de raison $q = 1{,}2$ .

Multiplier par $1{,}2$ , c’est augmenter de $20\,\%$ chaque année.

6. On compare $H_n$ et $B_n = 900 - 10n$ . Pour calculer $H_n$ de tête, on utilise $\times 1{,}2$ = « ajouter le cinquième » : $H_1 = 240$ , $H_2 = 288$ , $H_3 = 345{,}6$ , $H_4 \approx 414{,}7$ , $H_5 \approx 497{,}7$ , $H_6 \approx 597{,}2$ , $H_7 \approx 716{,}6$ , $H_8 \approx 860$ . Arrondir à l’unité à chaque étape suffit, car les écarts à comparer sont grands ; on peut aussi lire ces valeurs sur le graphique.

$n$	6	7	8
$H_n$ (handball)	≈ 597	≈ 717	≈ 860
$B_n$ (basket)	840	830	820

Pour $n = 7$ : $H_7 \approx 717 < 830 = B_7$ ;
pour $n = 8$ : $H_8 \approx 860 > 820 = B_8$ .

La suite $(H_n)$ est croissante et la suite $(B_n)$ décroissante : une fois passé devant, le handball reste devant. Le nombre d’adhérents au club de handball dépasse celui du club de basketball à partir de l’année $2025 + 8 =$ 2033.

Sujet officiel

26-MATGEG11 · session 2026

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