Épreuve anticipée · session 2026 · Sans spécialité maths, Amérique du Nord

Épreuve anticipée de maths 2026, sans spécialité (Amérique du Nord) : sujet et corrigé

Le sujet de juin 2026 en Amérique du Nord, sans spécialité maths : 12 automatismes, suites et modèles de population, tableau croisé, dérivée et variations.

Durée: 2 heures
Calculatrice: interdite
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Bac-Maths.

En 2026, la première partie était un QCM. À partir de 2027, ce sont des questions à réponses courtes : entraîne-toi à trouver le résultat sans regarder les propositions.

Première partie : automatismes (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 1

On veut comparer deux nombres réels notés $A$ et $B$ . On sait que la différence $A - B$ est strictement positive. Alors :

A < B

A > B

A = B

dOn ne peut pas savoir.

Corrigé

$A - B > 0 \iff A > B$ (on ajoute $B$ aux deux membres). Réponse b. C’est la méthode de comparaison par la différence : on étudie le signe de $A - B$ .

Question 2

On considère le nombre $C = \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{5}{6}$ . On a :

C = 2

C = \dfrac{35}{12}

C = \dfrac{31}{2}

C = 3

Corrigé

La multiplication est prioritaire : $3 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}$ . Puis $C = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ . Réponse d.

Question 3

On considère le nombre $D = 3 \times 2^5 \times 2^3$ . On a :

D = 3 \times 2^8

D = 6^8

D = 3 \times 2^{15}

D = 7^8

Corrigé

$2^5 \times 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$ : on ajoute les exposants, on ne les multiplie pas. Donc $D = 3 \times 2^8$ . Réponse a. Le $3$ n’est pas une puissance de $2$ : on ne peut pas le « fusionner » avec $2^8$ .

Question 4

On considère le nombre $E = 999 \times 1\,001$ . Un ordre de grandeur de $E$ est :

1\,000

10\,000

100\,000

1\,000\,000

Corrigé

$999 \approx 1\,000$ et $1\,001 \approx 1\,000$ , donc $E \approx 1\,000 \times 1\,000 = 1\,000\,000$ . Réponse d. (En fait, $E = (1\,000 - 1)(1\,000 + 1) = 1\,000\,000 - 1 = 999\,999$ .)

Question 5

Quand on développe $(x + 2)^2$ , on obtient :

x^2 + 4x + 4

2x + 4

x^2 + 4

x^2 - 4

Corrigé

Identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : $(x + 2)^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$ . Réponse a. Le piège est la réponse c : on n’oublie pas le double produit.

Question 6

L’équation $3x - 5 = x + 3$ a pour solution :

x = -4

x = 8

x = 6

x = 4

Corrigé

$3x - x = 3 + 5 \iff 2x = 8 \iff x = 4$ . Vérification : $3 \times 4 - 5 = 7$ et $4 + 3 = 7$ . Réponse d.

Question 7

Dans une boîte de $60$ chocolats, $40\,\%$ sont des chocolats au lait. Combien y a-t-il de chocolats au lait dans la boîte ?

20

24

25

40

Corrigé

$10\,\%$ de $60$ vaut $6$ , donc $40\,\%$ vaut $4 \times 6 = 24$ . Réponse b.

Question 8

Le taux d’évolution équivalent à une baisse de $10\,\%$ suivie d’une baisse de $20\,\%$ est :

-38\,\%

-30\,\%

-28\,\%

-18\,\%

Corrigé

On multiplie les coefficients multiplicateurs : $0{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}72$ . Or $0{,}72 = 1 - 0{,}28$ : c’est une baisse de $28\,\%$ . Réponse c. Les pourcentages ne s’ajoutent pas : la seconde baisse s’applique à une valeur déjà diminuée.

Question 9

Une droite est représentée ci-dessous. L’équation réduite de cette droite est :

Droite dans un repère quadrillé, qui coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 3) et l’axe des abscisses au point (1,5 ; 0) ; elle passe aussi par (1 ; 1) et (2 ; −1)

y = -2x + 3

y = 3x + 1{,}5

y = -0{,}5x + 3

y = -2x + 1{,}5

Corrigé

L’ordonnée à l’origine se lit sur l’axe des ordonnées : la droite passe par $(0 \,;\, 3)$ , donc $p = 3$ . Elle passe aussi par $(1 \,;\, 1)$ : quand $x$ augmente de $1$ , $y$ diminue de $2$ , donc $m = -2$ . L’équation est $y = -2x + 3$ . Réponse a.

Question 10

En physique, l’énergie cinétique d’un véhicule est donnée par la formule

E = \dfrac{1}{2} m v^2

où $m$ représente la masse du véhicule et $v$ sa vitesse. On souhaite exprimer $v$ en fonction de $E$ et $m$ . Une expression de $v$ est :

v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}

v = \dfrac{2E}{m}

v = \sqrt{E - \dfrac{1}{2}m}

v = \sqrt{2mE}

Corrigé

On isole $v^2$ : on multiplie par $2$ , puis on divise par $m$ .

E = \dfrac{1}{2} m v^2 \iff 2E = m v^2 \iff v^2 = \dfrac{2E}{m}

Une vitesse est positive, donc $v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$ . Réponse a.

Question 11

Une fonction $h$ définie sur $[-3 \,;\, 4]$ est représentée ci-dessous. L’équation $h(x) = 2$ a pour ensemble solution :

Courbe d’une fonction h sur [−3 ; 4] : elle part de (−3 ; 3), descend en passant par (−2 ; 2) et (−1 ; 0) jusqu’à son minimum (0 ; −4), remonte en passant par (1 ; 0) et (2 ; 2) jusqu’à son maximum (2,5 ; 3,5), puis redescend en passant par (3 ; 2) et (3,5 ; 0) jusqu’à (4 ; −4)

\mathcal{S} = \{2\}

\mathcal{S} = \{-2 \,;\, 2 \,;\, 3\}

\mathcal{S} = [-2 \,;\, 3]

\mathcal{S} = \{-0{,}5 \,;\, 0{,}5\}

Corrigé

On trace la droite horizontale d’équation $y = 2$ et on lit les abscisses des points d’intersection avec la courbe : $-2$ , $2$ et $3$ . Réponse b. La réponse a confond l’équation $h(x) = 2$ avec l’image de $2$ ; la réponse c est un intervalle, alors que la courbe ne reste pas à la hauteur $2$ entre $-2$ et $3$ .

Question 12

Un élève a obtenu une série de trois notes $9$ ; $11$ ; $13$ en mathématiques. Il a déterminé la moyenne et la médiane de cette série. Il a obtenu deux nouvelles notes, $10$ et $17$ , et obtient ainsi une nouvelle série de notes : $9$ ; $10$ ; $11$ ; $13$ ; $17$ . Laquelle des quatre propositions est vraie ?

aLes moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont égales.

bLes moyennes des deux séries sont égales et les médianes sont différentes.

cLes moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont égales.

dLes moyennes des deux séries sont différentes et les médianes sont différentes.

Corrigé

Première série : moyenne $\dfrac{9 + 11 + 13}{3} = \dfrac{33}{3} = 11$ ; médiane $11$ (valeur du milieu).
Seconde série : moyenne $\dfrac{9 + 10 + 11 + 13 + 17}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$ ; médiane $11$ (la $3^{\text{e}}$ des $5$ valeurs rangées).

Les moyennes diffèrent ( $11$ et $12$ ), les médianes sont égales ( $11$ ). Réponse c.

Deuxième partie, exercice 1 (5 points)

En juin 2019, une population de $200$ marmottes a été introduite dans un massif montagneux où cette espèce était absente. Un zoologue en charge de ce projet souhaite modéliser l’évolution de cette population en fonction du temps. Il constate qu’entre juin 2019 et juin 2020, la population a augmenté de $20$ individus.

Partie A : premier modèle

Le zoologue propose un premier modèle où la population augmente de $20$ individus tous les ans. On note alors $u_n$ la population de marmottes que l’on peut estimer à l’aide de ce modèle en juin $2019 + n$ . On a donc $u_0 = 200$ .

Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
À combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?
En juin 2025, un nouveau décompte a permis de savoir que la population était de $355$ individus. Ce premier modèle semble-t-il être adapté à la situation ?

Corrigé de la partie A

1. On ajoute chaque année le même nombre, $20$ : $u_{n+1} = u_n + 20$ . La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 20$ (et de premier terme $u_0 = 200$ ).

2. Juin 2025 correspond à $n = 2025 - 2019 = 6$ . Comme $u_n = u_0 + nr = 200 + 20n$ , on a $u_6 = 200 + 20 \times 6 = 320$ . Le modèle prévoit environ $320$ marmottes en juin 2025.

3. Le modèle prévoit $320$ marmottes, alors qu’on en a compté $355$ : il sous-estime la population de $35$ individus, soit près de $10\,\%$ de l’effectif réel. Ce premier modèle ne semble pas adapté.

Partie B : second modèle

On rappelle que la population de marmottes était de $200$ individus en juin 2019 et de $220$ individus en juin 2020. De quel pourcentage la population a-t-elle augmenté entre ces deux dates ?

Le zoologue propose un second modèle où la population augmente de ce même pourcentage tous les ans. Dans ce modèle, on représente la population de marmottes en juin $2019 + n$ par $v_n$ tel que, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1} = 1{,}1 \times v_n$ .

2. a. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.

2. b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .

3. On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite $(v_n)$ .

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L
1	$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	$v(n)$	200	220	242	266	293	322	354	390	429	472	519

3. a. Selon ce nouveau modèle, à combien peut-on estimer le nombre de marmottes en juin 2025 ?

3. b. En utilisant la donnée fournie dans la question 3 de la partie A, ce nouveau modèle semble-t-il pertinent ?

3. c. Au mois de juin de quelle année la population de marmottes de ce massif montagneux aura-t-elle dépassé $400$ individus, selon ce modèle ?

Corrigé de la partie B

1. Le taux d’évolution est

\dfrac{220 - 200}{200} = \dfrac{20}{200} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1

La population a augmenté de $10\,\%$ .

2. a. On multiplie chaque année par le même nombre, $1{,}1$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1{,}1$ et de premier terme $v_0 = 200$ (population de juin 2019).

2. b. $v_n = v_0 \times q^n = 200 \times 1{,}1^n$ .

3. a. Juin 2025 correspond à $n = 6$ (colonne H) : $v_6 \approx 354$ . Le modèle prévoit environ $354$ marmottes.

3. b. On a compté $355$ marmottes en juin 2025 ; le modèle en prévoit $354$ . L’écart d’un seul individu est très faible : ce second modèle semble pertinent, bien plus que le premier.

3. c. D’après le tableau, $v_7 \approx 390 < 400$ et $v_8 \approx 429 > 400$ . Comme la suite est croissante, la population dépasse $400$ individus pour la première fois quand $n = 8$ , c’est-à-dire en juin 2027 ( $2019 + 8$ ).

Deuxième partie, exercice 2 (5 points)

Les $200$ adhérents d’une salle de sport ne pratiquent qu’une seule activité parmi les deux activités suivantes : le step et le crossfit. La répartition des adhérents est donnée dans le tableau suivant.

	Step	Crossfit	Total
Homme	20	80	100
Femme	60	40	100
Total	80	120	200

On choisit un adhérent au hasard parmi les $200$ adhérents. On considère les événements suivants : $F$ « l’adhérent est une femme » ; $H$ « l’adhérent est un homme » ; $S$ « l’adhérent pratique le step » ; $C$ « l’adhérent pratique le crossfit ».

Déterminer la probabilité $P(F)$ de l’événement $F$ .
Déterminer la probabilité que l’adhérent soit un homme qui pratique le step.
Déterminer la probabilité de l’événement $F \cap S$ .
Les événements $F$ et $S$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
On choisit au hasard une femme parmi les adhérents. Quelle est la probabilité qu’elle pratique le crossfit ?
Déterminer la probabilité $P_C(F)$ .

Corrigé de l’exercice 2

Le choix se fait au hasard : chaque probabilité est un quotient « effectif favorable / effectif total ».

1. $P(F) = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2}$ .

2. On cherche $P(H \cap S)$ : il y a $20$ hommes qui pratiquent le step, donc $P(H \cap S) = \dfrac{20}{200} = \dfrac{1}{10}$ .

3. Il y a $60$ femmes qui pratiquent le step : $P(F \cap S) = \dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10}$ .

4. $F$ et $S$ sont indépendants si $P(F \cap S) = P(F) \times P(S)$ . Or $P(S) = \dfrac{80}{200} = \dfrac{2}{5}$ , donc

P(F) \times P(S) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}

Comme $\dfrac{1}{5} \neq \dfrac{3}{10}$ , les événements $F$ et $S$ ne sont pas indépendants. Autre façon de le voir : $P_F(S) = \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}$ , alors que $P(S) = \dfrac{2}{5}$ ; être une femme rend plus probable de pratiquer le step.

5. On se restreint aux $100$ femmes, dont $40$ pratiquent le crossfit : $P_F(C) = \dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}$ .

6. On se restreint cette fois aux $120$ adhérents qui pratiquent le crossfit, dont $40$ femmes :

P_C(F) = \dfrac{40}{120} = \dfrac{1}{3}

Attention à ne pas confondre $P_F(C)$ (question 5) et $P_C(F)$ : ce n’est pas la même population de référence.

Deuxième partie, exercice 3 (4 points)

On considère ci-dessous la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $[-2 \,;\, 4]$ . On a également tracé sa tangente au point $A$ d’abscisse $-1$ .

Parabole tournée vers le bas, sur [−2 ; 4] : elle part de (−2 ; 0), passe par A(−1 ; 5) et (0 ; 8), atteint son sommet (1 ; 9), puis passe par (3 ; 5) et redescend jusqu’à (4 ; 0). La tangente en A est une droite qui passe par A(−1 ; 5) et par le point (0 ; 9)

Par lecture graphique, donner la valeur de :
a. $f(3)$
b. $f'(-1)$
On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-2 \,;\, 4]$ par $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ .
a. Calculer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $[-2 \,;\, 4]$ .
b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-2 \,;\, 4]$ .
Donner les variations de $f$ sur $[-2 \,;\, 4]$ .

Corrigé de l’exercice 3

1. a. On lit l’ordonnée du point de la courbe d’abscisse $3$ : $f(3) = 5$ . (Vérification avec la formule de la question 2 : $-9 + 6 + 8 = 5$ .)

1. b. $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente en $A$ . La tangente passe par $A(-1 \,;\, 5)$ et par le point $(0 \,;\, 9)$ :

f'(-1) = \dfrac{9 - 5}{0 - (-1)} = \dfrac{4}{1} = 4

2. a. La dérivée de $x^2$ est $2x$ , celle de $x$ est $1$ et celle d’une constante est $0$ :

f'(x) = -2x + 2

On retrouve bien $f'(-1) = 2 + 2 = 4$ .

2. b. $f'(x)$ est une expression affine de coefficient directeur $-2$ (négatif) : elle est décroissante et s’annule quand $-2x + 2 = 0$ , c’est-à-dire $x = 1$ .

$f'(x) > 0 \iff -2x + 2 > 0 \iff x < 1$ ;
$f'(x) < 0 \iff x > 1$ .

Donc $f'(x) \geq 0$ sur $[-2 \,;\, 1]$ (nulle en $1$ ) et $f'(x) \leq 0$ sur $[1 \,;\, 4]$ .

3. Le signe de la dérivée donne les variations : $f$ est croissante sur $[-2 \,;\, 1]$ et décroissante sur $[1 \,;\, 4]$ . On calcule les valeurs utiles : $f(-2) = -4 - 4 + 8 = 0$ , $f(1) = -1 + 2 + 8 = 9$ et $f(4) = -16 + 8 + 8 = 0$ .

\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & & 1 & & 4 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f & 0 & \nearrow & 9 & \searrow & 0 \end{array}

Le maximum de $f$ sur $[-2 \,;\, 4]$ vaut $9$ , atteint en $x = 1$ : c’est le sommet de la parabole, qu’on voit bien sur le graphique.

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